Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54332 / 12942
↖ ↑ ↗
← N 80.810752°
W 30.772705°		 ← 48.77 m → N 80.810752°
W 30.769959°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.810313°
W 30.772705°		 ← 48.77 m →
2 380 m²		 N 80.810313°
W 30.769959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414524078369141 y=0.0987434387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414524078369141 × 217)
    floor (0.414524078369141 × 131072)
    floor (54332.5)     		tx = 54332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987434387207031 × 217)
    floor (0.0987434387207031 × 131072)
    floor (12942.5)     		ty = 12942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54332 / 12942 ti = "17/54332/12942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54332/12942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54332 ÷ 217
    54332 ÷ 131072     		x = 0.414520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12942 ÷ 217
    12942 ÷ 131072     		y = 0.0987396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.17095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53708502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987396240234375 × 2 - 1) × π
    0.802520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52119329861723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53708502} λ = -0.53708502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52119329861723))-π/2
    2×atan(12.4434365432333)-π/2
    2×1.49060501243866-π/2
    2.98121002487732-1.57079632675     		φ = 1.41041370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53708502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.772705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41041370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.810752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54332 KachelY 12942 -0.53708502 1.41041370 -30.772705 80.810752
    Oben rechts KachelX + 1 54333 KachelY 12942 -0.53703709 1.41041370 -30.769959 80.810752
    Unten links KachelX 54332 KachelY + 1 12943 -0.53708502 1.41040604 -30.772705 80.810313
    Unten rechts KachelX + 1 54333 KachelY + 1 12943 -0.53703709 1.41040604 -30.769959 80.810313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41041370-1.41040604) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41041370-1.41040604) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53708502--0.53703709) × cos(1.41041370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159695934553949 × 6371000     		do = 48.7650747581708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53708502--0.53703709) × cos(1.41040604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159703496242752 × 6371000     		du = 48.7673838108138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41041370)-sin(1.41040604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159695934553949-0.159703496242752)×R²
    abs(-0.53703709--0.53708502)×7.56168880283736e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.56168880283736e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.56168880283736e-06×40589641000000     		ar = 2379.88269414211m²