Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54330 / 13224
↖ ↑ ↗
← N 80.686233°
W 30.778198°		 ← 49.43 m → N 80.686233°
W 30.775452°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.685789°
W 30.778198°		 ← 49.43 m →
2 444 m²		 N 80.685789°
W 30.775452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414508819580078 y=0.100894927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414508819580078 × 217)
    floor (0.414508819580078 × 131072)
    floor (54330.5)     		tx = 54330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100894927978516 × 217)
    floor (0.100894927978516 × 131072)
    floor (13224.5)     		ty = 13224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54330 / 13224 ti = "17/54330/13224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54330/13224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54330 ÷ 217
    54330 ÷ 131072     		x = 0.414505004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13224 ÷ 217
    13224 ÷ 131072     		y = 0.10089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414505004882812 × 2 - 1) × π
    -0.170989990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53718090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10089111328125 × 2 - 1) × π
    0.7982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50767509292438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53718090} λ = -0.53718090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50767509292438))-π/2
    2×atan(12.2763554710512)-π/2
    2×1.48951837773667-π/2
    2.97903675547334-1.57079632675     		φ = 1.40824043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53718090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.778198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40824043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.686233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54330 KachelY 13224 -0.53718090 1.40824043 -30.778198 80.686233
    Oben rechts KachelX + 1 54331 KachelY 13224 -0.53713296 1.40824043 -30.775452 80.686233
    Unten links KachelX 54330 KachelY + 1 13225 -0.53718090 1.40823267 -30.778198 80.685789
    Unten rechts KachelX + 1 54331 KachelY + 1 13225 -0.53713296 1.40823267 -30.775452 80.685789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40824043-1.40823267) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40824043-1.40823267) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53718090--0.53713296) × cos(1.40824043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16184093453498 × 6371000     		do = 49.4303871926053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53718090--0.53713296) × cos(1.40823267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161848592228928 × 6371000     		du = 49.432726049446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40824043)-sin(1.40823267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16184093453498-0.161848592228928)×R²
    abs(-0.53713296--0.53718090)×7.65769394775462e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.65769394775462e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.65769394775462e-06×40589641000000     		ar = 2443.84475047427m²