Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54329 / 13223
↖ ↑ ↗
← N 80.686678°
W 30.780945°		 ← 49.42 m → N 80.686678°
W 30.778198°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.686233°
W 30.780945°		 ← 49.42 m →
2 443 m²		 N 80.686233°
W 30.778198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414501190185547 y=0.100887298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414501190185547 × 217)
    floor (0.414501190185547 × 131072)
    floor (54329.5)     		tx = 54329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100887298583984 × 217)
    floor (0.100887298583984 × 131072)
    floor (13223.5)     		ty = 13223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54329 / 13223 ti = "17/54329/13223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54329/13223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54329 ÷ 217
    54329 ÷ 131072     		x = 0.414497375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13223 ÷ 217
    13223 ÷ 131072     		y = 0.100883483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414497375488281 × 2 - 1) × π
    -0.171005249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.53722883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100883483886719 × 2 - 1) × π
    0.798233032226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.507723029824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53722883} λ = -0.53722883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.507723029824))-π/2
    2×atan(12.2769439755766)-π/2
    2×1.48952225672127-π/2
    2.97904451344254-1.57079632675     		φ = 1.40824819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53722883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.780945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40824819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.686678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54329 KachelY 13223 -0.53722883 1.40824819 -30.780945 80.686678
    Oben rechts KachelX + 1 54330 KachelY 13223 -0.53718090 1.40824819 -30.778198 80.686678
    Unten links KachelX 54329 KachelY + 1 13224 -0.53722883 1.40824043 -30.780945 80.686233
    Unten rechts KachelX + 1 54330 KachelY + 1 13224 -0.53718090 1.40824043 -30.778198 80.686233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40824819-1.40824043) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40824819-1.40824043) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53722883--0.53718090) × cos(1.40824819) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161833276831286 × 6371000     		do = 49.4177379347838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53722883--0.53718090) × cos(1.40824043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16184093453498 × 6371000     		du = 49.4200763067288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40824819)-sin(1.40824043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161833276831286-0.16184093453498)×R²
    abs(-0.53718090--0.53722883)×7.65770369340335e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.65770369340335e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.65770369340335e-06×40589641000000     		ar = 2443.21937222678m²