Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54325 / 12709
↖ ↑ ↗
← N 80.912389°
W 30.791931°		 ← 48.24 m → N 80.912389°
W 30.789184°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.911955°
W 30.791931°		 ← 48.24 m →
2 327 m²		 N 80.911955°
W 30.789184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414470672607422 y=0.0969657897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414470672607422 × 217)
    floor (0.414470672607422 × 131072)
    floor (54325.5)     		tx = 54325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969657897949219 × 217)
    floor (0.0969657897949219 × 131072)
    floor (12709.5)     		ty = 12709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54325 / 12709 ti = "17/54325/12709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54325/12709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54325 ÷ 217
    54325 ÷ 131072     		x = 0.414466857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12709 ÷ 217
    12709 ÷ 131072     		y = 0.0969619750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414466857910156 × 2 - 1) × π
    -0.171066284179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.53742058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0969619750976562 × 2 - 1) × π
    0.806076049804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.53236259622871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53742058} λ = -0.53742058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53236259622871))-π/2
    2×atan(12.5832000664948)-π/2
    2×1.49149195898901-π/2
    2.98298391797802-1.57079632675     		φ = 1.41218759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53742058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.791931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41218759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.912389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54325 KachelY 12709 -0.53742058 1.41218759 -30.791931 80.912389
    Oben rechts KachelX + 1 54326 KachelY 12709 -0.53737264 1.41218759 -30.789184 80.912389
    Unten links KachelX 54325 KachelY + 1 12710 -0.53742058 1.41218002 -30.791931 80.911955
    Unten rechts KachelX + 1 54326 KachelY + 1 12710 -0.53737264 1.41218002 -30.789184 80.911955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41218759-1.41218002) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41218759-1.41218002) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53742058--0.53737264) × cos(1.41218759) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.157944559873708 × 6371000     		do = 48.2403340784816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53742058--0.53737264) × cos(1.41218002) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.157952034850401 × 6371000     		du = 48.2426171287697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41218759)-sin(1.41218002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157944559873708-0.157952034850401)×R²
    abs(-0.53737264--0.53742058)×7.4749766937332e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.4749766937332e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.4749766937332e-06×40589641000000     		ar = 2326.61255886341m²