Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54318 / 12943
↖ ↑ ↗
← N 80.810313°
W 30.811157°		 ← 48.78 m → N 80.810313°
W 30.808410°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.809875°
W 30.811157°		 ← 48.78 m →
2 377 m²		 N 80.809875°
W 30.808410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414417266845703 y=0.0987510681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414417266845703 × 217)
    floor (0.414417266845703 × 131072)
    floor (54318.5)     		tx = 54318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987510681152344 × 217)
    floor (0.0987510681152344 × 131072)
    floor (12943.5)     		ty = 12943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54318 / 12943 ti = "17/54318/12943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54318/12943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54318 ÷ 217
    54318 ÷ 131072     		x = 0.414413452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12943 ÷ 217
    12943 ÷ 131072     		y = 0.0987472534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414413452148438 × 2 - 1) × π
    -0.171173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53775614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987472534179688 × 2 - 1) × π
    0.802505493164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.52114536171761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53775614} λ = -0.53775614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52114536171761))-π/2
    2×atan(12.4428400577618)-π/2
    2×1.49060118468405-π/2
    2.98120236936811-1.57079632675     		φ = 1.41040604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53775614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.811157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41040604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.810313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54318 KachelY 12943 -0.53775614 1.41040604 -30.811157 80.810313
    Oben rechts KachelX + 1 54319 KachelY 12943 -0.53770820 1.41040604 -30.808410 80.810313
    Unten links KachelX 54318 KachelY + 1 12944 -0.53775614 1.41039839 -30.811157 80.809875
    Unten rechts KachelX + 1 54319 KachelY + 1 12944 -0.53770820 1.41039839 -30.808410 80.809875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41040604-1.41039839) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dl = 48.738150000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41040604-1.41039839) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dr = 48.738150000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53775614--0.53770820) × cos(1.41040604) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.159703496242752 × 6371000     		do = 48.7775585206106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53775614--0.53770820) × cos(1.41039839) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.159711048050546 × 6371000     		du = 48.7798650370945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41040604)-sin(1.41039839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159703496242752-0.159711048050546)×R²
    abs(-0.53770820--0.53775614)×7.55180779418718e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.55180779418718e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.55180779418718e-06×40589641000000     		ar = 2377.38417163171m²