Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54315 / 12919
↖ ↑ ↗
← N 80.820835°
W 30.819397°		 ← 48.72 m → N 80.820835°
W 30.816650°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.820397°
W 30.819397°		 ← 48.72 m →
2 372 m²		 N 80.820397°
W 30.816650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414394378662109 y=0.0985679626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414394378662109 × 217)
    floor (0.414394378662109 × 131072)
    floor (54315.5)     		tx = 54315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985679626464844 × 217)
    floor (0.0985679626464844 × 131072)
    floor (12919.5)     		ty = 12919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54315 / 12919 ti = "17/54315/12919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54315/12919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54315 ÷ 217
    54315 ÷ 131072     		x = 0.414390563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12919 ÷ 217
    12919 ÷ 131072     		y = 0.0985641479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414390563964844 × 2 - 1) × π
    -0.171218872070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.53789995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985641479492188 × 2 - 1) × π
    0.802871704101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.52229584730849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53789995} λ = -0.53789995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52229584730849))-π/2
    2×atan(12.4571636038947)-π/2
    2×1.49069300081916-π/2
    2.98138600163831-1.57079632675     		φ = 1.41058967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53789995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.819397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41058967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.820835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54315 KachelY 12919 -0.53789995 1.41058967 -30.819397 80.820835
    Oben rechts KachelX + 1 54316 KachelY 12919 -0.53785201 1.41058967 -30.816650 80.820835
    Unten links KachelX 54315 KachelY + 1 12920 -0.53789995 1.41058203 -30.819397 80.820397
    Unten rechts KachelX + 1 54316 KachelY + 1 12920 -0.53785201 1.41058203 -30.816650 80.820397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41058967-1.41058203) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41058967-1.41058203) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53789995--0.53785201) × cos(1.41058967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159522220437007 × 6371000     		do = 48.722192223384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53789995--0.53785201) × cos(1.41058203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159529762597094 × 6371000     		du = 48.7244957932099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41058967)-sin(1.41058203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159522220437007-0.159529762597094)×R²
    abs(-0.53785201--0.53789995)×7.54216008738706e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54216008738706e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54216008738706e-06×40589641000000     		ar = 2371.58148449922m²