Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54314 / 89126
↖ ↑ ↗
← S 54.223496°
W 30.822144°		 ← 178.56 m → S 54.223496°
W 30.819397°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
S 54.225102°
W 30.822144°		 ← 178.55 m →
31 886 m²		 S 54.225102°
W 30.819397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414386749267578 y=0.679981231689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414386749267578 × 217)
    floor (0.414386749267578 × 131072)
    floor (54314.5)     		tx = 54314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679981231689453 × 217)
    floor (0.679981231689453 × 131072)
    floor (89126.5)     		ty = 89126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54314 / 89126 ti = "17/54314/89126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54314/89126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54314 ÷ 217
    54314 ÷ 131072     		x = 0.414382934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89126 ÷ 217
    89126 ÷ 131072     		y = 0.679977416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414382934570312 × 2 - 1) × π
    -0.171234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53794789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679977416992188 × 2 - 1) × π
    -0.359954833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13083146203712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53794789} λ = -0.53794789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13083146203712))-π/2
    2×atan(0.322764778163016)-π/2
    2×0.312208890925038-π/2
    0.624417781850077-1.57079632675     		φ = -0.94637854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53794789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.822144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94637854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.223496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54314 KachelY 89126 -0.53794789 -0.94637854 -30.822144 -54.223496
    Oben rechts KachelX + 1 54315 KachelY 89126 -0.53789995 -0.94637854 -30.819397 -54.223496
    Unten links KachelX 54314 KachelY + 1 89127 -0.53794789 -0.94640657 -30.822144 -54.225102
    Unten rechts KachelX + 1 54315 KachelY + 1 89127 -0.53789995 -0.94640657 -30.819397 -54.225102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94637854--0.94640657) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dl = 178.579129999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94637854--0.94640657) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dr = 178.579129999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53794789--0.53789995) × cos(-0.94637854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584625020364252 × 6371000     		do = 178.55952946715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53794789--0.53789995) × cos(-0.94640657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584602279293747 × 6371000     		du = 178.552583758862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94637854)-sin(-0.94640657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584625020364252-0.584602279293747)×R²
    abs(-0.53789995--0.53794789)×2.27410705054831e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27410705054831e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27410705054831e-05×40589641000000     		ar = 31886.385248263m²