Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54307 / 89097
↖ ↑ ↗
← S 54.176904°
W 30.841370°		 ← 178.76 m → S 54.176904°
W 30.838623°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
S 54.178512°
W 30.841370°		 ← 178.75 m →
31 945 m²		 S 54.178512°
W 30.838623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414333343505859 y=0.679759979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414333343505859 × 217)
    floor (0.414333343505859 × 131072)
    floor (54307.5)     		tx = 54307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679759979248047 × 217)
    floor (0.679759979248047 × 131072)
    floor (89097.5)     		ty = 89097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54307 / 89097 ti = "17/54307/89097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54307/89097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54307 ÷ 217
    54307 ÷ 131072     		x = 0.414329528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89097 ÷ 217
    89097 ÷ 131072     		y = 0.679756164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414329528808594 × 2 - 1) × π
    -0.171340942382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.53828345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679756164550781 × 2 - 1) × π
    -0.359512329101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.12944129194814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53828345} λ = -0.53828345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12944129194814))-π/2
    2×atan(0.323213788131197)-π/2
    2×0.312615484230806-π/2
    0.625230968461612-1.57079632675     		φ = -0.94556536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53828345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.841370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94556536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.176904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54307 KachelY 89097 -0.53828345 -0.94556536 -30.841370 -54.176904
    Oben rechts KachelX + 1 54308 KachelY 89097 -0.53823551 -0.94556536 -30.838623 -54.176904
    Unten links KachelX 54307 KachelY + 1 89098 -0.53828345 -0.94559341 -30.841370 -54.178512
    Unten rechts KachelX + 1 54308 KachelY + 1 89098 -0.53823551 -0.94559341 -30.838623 -54.178512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94556536--0.94559341) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dl = 178.706549999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94556536--0.94559341) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dr = 178.706549999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53828345--0.53823551) × cos(-0.94556536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585284562885088 × 6371000     		do = 178.760970729637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53828345--0.53823551) × cos(-0.94559341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585261818930566 × 6371000     		du = 178.754024140497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94556536)-sin(-0.94559341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585284562885088-0.585261818930566)×R²
    abs(-0.53823551--0.53828345)×2.27439545219532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27439545219532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27439545219532e-05×40589641000000     		ar = 31945.1356553147m²