Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54306 / 89096
↖ ↑ ↗
← S 54.175297°
W 30.844116°		 ← 178.73 m → S 54.175297°
W 30.841370°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
S 54.176904°
W 30.844116°		 ← 178.72 m →
31 951 m²		 S 54.176904°
W 30.841370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414325714111328 y=0.679752349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414325714111328 × 217)
    floor (0.414325714111328 × 131072)
    floor (54306.5)     		tx = 54306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679752349853516 × 217)
    floor (0.679752349853516 × 131072)
    floor (89096.5)     		ty = 89096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54306 / 89096 ti = "17/54306/89096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54306/89096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54306 ÷ 217
    54306 ÷ 131072     		x = 0.414321899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89096 ÷ 217
    89096 ÷ 131072     		y = 0.67974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414321899414062 × 2 - 1) × π
    -0.171356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53833138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.3594970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12939335504852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53833138} λ = -0.53833138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12939335504852))-π/2
    2×atan(0.323229282369485)-π/2
    2×0.312629512867141-π/2
    0.625259025734283-1.57079632675     		φ = -0.94553730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53833138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.844116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94553730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.175297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54306 KachelY 89096 -0.53833138 -0.94553730 -30.844116 -54.175297
    Oben rechts KachelX + 1 54307 KachelY 89096 -0.53828345 -0.94553730 -30.841370 -54.175297
    Unten links KachelX 54306 KachelY + 1 89097 -0.53833138 -0.94556536 -30.844116 -54.176904
    Unten rechts KachelX + 1 54307 KachelY + 1 89097 -0.53828345 -0.94556536 -30.841370 -54.176904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94553730--0.94556536) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94553730--0.94556536) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53833138--0.53828345) × cos(-0.94553730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585307314487222 × 6371000     		do = 178.730629725776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53833138--0.53828345) × cos(-0.94556536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585284562885088 × 6371000     		du = 178.723682250363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94553730)-sin(-0.94556536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585307314487222-0.585284562885088)×R²
    abs(-0.53828345--0.53833138)×2.27516021341634e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27516021341634e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27516021341634e-05×40589641000000     		ar = 31951.1001471652m²