Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54300 / 12884
↖ ↑ ↗
← N 80.836157°
W 30.860595°		 ← 48.63 m → N 80.836157°
W 30.857849°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.835720°
W 30.860595°		 ← 48.63 m →
2 367 m²		 N 80.835720°
W 30.857849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414279937744141 y=0.0983009338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414279937744141 × 217)
    floor (0.414279937744141 × 131072)
    floor (54300.5)     		tx = 54300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0983009338378906 × 217)
    floor (0.0983009338378906 × 131072)
    floor (12884.5)     		ty = 12884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54300 / 12884 ti = "17/54300/12884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54300/12884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54300 ÷ 217
    54300 ÷ 131072     		x = 0.414276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12884 ÷ 217
    12884 ÷ 131072     		y = 0.098297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.17144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53861900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098297119140625 × 2 - 1) × π
    0.80340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5239736387952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53861900} λ = -0.53861900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5239736387952))-π/2
    2×atan(12.4780816701074)-π/2
    2×1.49082671256088-π/2
    2.98165342512176-1.57079632675     		φ = 1.41085710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53861900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.860595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41085710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.836157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54300 KachelY 12884 -0.53861900 1.41085710 -30.860595 80.836157
    Oben rechts KachelX + 1 54301 KachelY 12884 -0.53857107 1.41085710 -30.857849 80.836157
    Unten links KachelX 54300 KachelY + 1 12885 -0.53861900 1.41084946 -30.860595 80.835720
    Unten rechts KachelX + 1 54301 KachelY + 1 12885 -0.53857107 1.41084946 -30.857849 80.835720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41085710-1.41084946) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41085710-1.41084946) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53861900--0.53857107) × cos(1.41085710) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.159258209353895 × 6371000     		do = 48.6314101023875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53861900--0.53857107) × cos(1.41084946) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.159265751839651 × 6371000     		du = 48.6337132911491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41085710)-sin(1.41084946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159258209353895-0.159265751839651)×R²
    abs(-0.53857107--0.53861900)×7.54248575565719e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.54248575565719e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.54248575565719e-06×40589641000000     		ar = 2367.16270655862m²