Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 543 / 30
↖ ↑ ↗
← N 84.574702°
W 84.550781°		 ← 1 848.03 m → N 84.574702°
W 84.375000°		 →
↑
1 850.84 m
↓
↑
1 850.84 m
↓
N 84.558057°
W 84.550781°		 ← 1 853.68 m →
3 425 638 m²		 N 84.558057°
W 84.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265380859375 y=0.014892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265380859375 × 211)
    floor (0.265380859375 × 2048)
    floor (543.5)     		tx = 543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.014892578125 × 211)
    floor (0.014892578125 × 2048)
    floor (30.5)     		ty = 30
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 543 / 30 ti = "11/543/30"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/543/30.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 543 ÷ 211
    543 ÷ 2048     		x = 0.26513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30 ÷ 211
    30 ÷ 2048     		y = 0.0146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47568952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0146484375 × 2 - 1) × π
    0.970703125 × 3.1415926535     		Φ = 3.04955380622949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47568952} λ = -1.47568952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04955380622949))-π/2
    2×atan(21.1059249889997)-π/2
    2×1.52345167278159-π/2
    3.04690334556317-1.57079632675     		φ = 1.47610702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47568952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47610702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.574702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 543 KachelY 30 -1.47568952 1.47610702 -84.550781 84.574702
    Oben rechts KachelX + 1 544 KachelY 30 -1.47262156 1.47610702 -84.375000 84.574702
    Unten links KachelX 543 KachelY + 1 31 -1.47568952 1.47581651 -84.550781 84.558057
    Unten rechts KachelX + 1 544 KachelY + 1 31 -1.47262156 1.47581651 -84.375000 84.558057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47610702-1.47581651) × R
    0.000290509999999911 × 6371000     		dl = 1850.83920999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47610702-1.47581651) × R
    0.000290509999999911 × 6371000     		dr = 1850.83920999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47568952--1.47262156) × cos(1.47610702) × R
    0.00306795999999987 × 0.0945478718051181 × 6371000     		do = 1848.03016463788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47568952--1.47262156) × cos(1.47581651) × R
    0.00306795999999987 × 0.094837076418371 × 6371000     		du = 1853.68295024627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47610702)-sin(1.47581651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0945478718051181-0.094837076418371)×R²
    abs(-1.47262156--1.47568952)×0.000289204613252894×R²
    0.00306795999999987×0.000289204613252894×6371000²
    0.00306795999999987×0.000289204613252894×40589641000000     		ar = 3425637.9126814m²