Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54296 / 89099
↖ ↑ ↗
← S 54.180119°
W 30.871582°		 ← 178.75 m → S 54.180119°
W 30.868835°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
S 54.181726°
W 30.871582°		 ← 178.74 m →
31 943 m²		 S 54.181726°
W 30.868835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414249420166016 y=0.679775238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414249420166016 × 217)
    floor (0.414249420166016 × 131072)
    floor (54296.5)     		tx = 54296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679775238037109 × 217)
    floor (0.679775238037109 × 131072)
    floor (89099.5)     		ty = 89099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54296 / 89099 ti = "17/54296/89099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54296/89099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54296 ÷ 217
    54296 ÷ 131072     		x = 0.41424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89099 ÷ 217
    89099 ÷ 131072     		y = 0.679771423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53881075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679771423339844 × 2 - 1) × π
    -0.359542846679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.12953716574738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53881075} λ = -0.53881075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12953716574738))-π/2
    2×atan(0.323182801882771)-π/2
    2×0.312587428593913-π/2
    0.625174857187825-1.57079632675     		φ = -0.94562147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53881075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.871582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94562147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.180119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54296 KachelY 89099 -0.53881075 -0.94562147 -30.871582 -54.180119
    Oben rechts KachelX + 1 54297 KachelY 89099 -0.53876281 -0.94562147 -30.868835 -54.180119
    Unten links KachelX 54296 KachelY + 1 89100 -0.53881075 -0.94564952 -30.871582 -54.181726
    Unten rechts KachelX + 1 54297 KachelY + 1 89100 -0.53876281 -0.94564952 -30.868835 -54.181726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94562147--0.94564952) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94562147--0.94564952) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53881075--0.53876281) × cos(-0.94562147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585239066406951 × 6371000     		do = 178.747074934135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53881075--0.53876281) × cos(-0.94564952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585216321531311 × 6371000     		du = 178.740128063662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94562147)-sin(-0.94564952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585239066406951-0.585216321531311)×R²
    abs(-0.53876281--0.53881075)×2.27448756392468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27448756392468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27448756392468e-05×40589641000000     		ar = 31942.6523606724m²