Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54293 / 12925
↖ ↑ ↗
← N 80.818206°
W 30.879822°		 ← 48.73 m → N 80.818206°
W 30.877075°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.817768°
W 30.879822°		 ← 48.73 m →
2 375 m²		 N 80.817768°
W 30.877075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414226531982422 y=0.0986137390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414226531982422 × 217)
    floor (0.414226531982422 × 131072)
    floor (54293.5)     		tx = 54293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986137390136719 × 217)
    floor (0.0986137390136719 × 131072)
    floor (12925.5)     		ty = 12925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54293 / 12925 ti = "17/54293/12925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54293/12925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54293 ÷ 217
    54293 ÷ 131072     		x = 0.414222717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12925 ÷ 217
    12925 ÷ 131072     		y = 0.0986099243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414222717285156 × 2 - 1) × π
    -0.171554565429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.53895456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986099243164062 × 2 - 1) × π
    0.802780151367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.52200822591077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53895456} λ = -0.53895456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52200822591077))-π/2
    2×atan(12.453581172304)-π/2
    2×1.49067005656062-π/2
    2.98134011312125-1.57079632675     		φ = 1.41054379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53895456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.879822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41054379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.818206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54293 KachelY 12925 -0.53895456 1.41054379 -30.879822 80.818206
    Oben rechts KachelX + 1 54294 KachelY 12925 -0.53890663 1.41054379 -30.877075 80.818206
    Unten links KachelX 54293 KachelY + 1 12926 -0.53895456 1.41053614 -30.879822 80.817768
    Unten rechts KachelX + 1 54294 KachelY + 1 12926 -0.53890663 1.41053614 -30.877075 80.817768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41054379-1.41053614) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41054379-1.41053614) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53895456--0.53890663) × cos(1.41054379) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.159567512745328 × 6371000     		do = 48.7258596138813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53895456--0.53890663) × cos(1.41053614) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.159575064721348 × 6371000     		du = 48.7281657006092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41054379)-sin(1.41053614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159567512745328-0.159575064721348)×R²
    abs(-0.53890663--0.53895456)×7.55197601984281e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.55197601984281e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.55197601984281e-06×40589641000000     		ar = 2374.8644519146m²