Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54291 / 21193
↖ ↑ ↗
← N 53.510918°
E118.229370°		 ← 363.22 m → N 53.510918°
E118.234863°		 →
↑
363.27 m
↓
↑
363.27 m
↓
N 53.507651°
E118.229370°		 ← 363.24 m →
131 952 m²		 N 53.507651°
E118.234863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828422546386719 y=0.323387145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828422546386719 × 216)
    floor (0.828422546386719 × 65536)
    floor (54291.5)     		tx = 54291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323387145996094 × 216)
    floor (0.323387145996094 × 65536)
    floor (21193.5)     		ty = 21193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54291 / 21193 ti = "16/54291/21193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54291/21193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54291 ÷ 216
    54291 ÷ 65536     		x = 0.828414916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21193 ÷ 216
    21193 ÷ 65536     		y = 0.323379516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828414916992188 × 2 - 1) × π
    0.656829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06349178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323379516601562 × 2 - 1) × π
    0.353240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1097392262043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06349178} λ = 2.06349178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1097392262043))-π/2
    2×atan(3.03356721644337)-π/2
    2×1.25236901607351-π/2
    2.50473803214701-1.57079632675     		φ = 0.93394171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06349178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.229370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93394171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.510918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54291 KachelY 21193 2.06349178 0.93394171 118.229370 53.510918
    Oben rechts KachelX + 1 54292 KachelY 21193 2.06358765 0.93394171 118.234863 53.510918
    Unten links KachelX 54291 KachelY + 1 21194 2.06349178 0.93388469 118.229370 53.507651
    Unten rechts KachelX + 1 54292 KachelY + 1 21194 2.06358765 0.93388469 118.234863 53.507651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93394171-0.93388469) × R
    5.70200000000742e-05 × 6371000     		dl = 363.274420000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93394171-0.93388469) × R
    5.70200000000742e-05 × 6371000     		dr = 363.274420000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06349178-2.06358765) × cos(0.93394171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594669592841822 × 6371000     		do = 363.216914498656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06349178-2.06358765) × cos(0.93388469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594715434255629 × 6371000     		du = 363.244913873569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93394171)-sin(0.93388469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594669592841822-0.594715434255629)×R²
    abs(2.06358765-2.06349178)×4.58414138072571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58414138072571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58414138072571e-05×40589641000000     		ar = 131952.499712907m²