Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5429 / 2327
↖ ↑ ↗
← N 82.275001°
W120.355225°		 ← 164.21 m → N 82.275001°
W120.344238°		 →
↑
164.24 m
↓
↑
164.24 m
↓
N 82.273524°
W120.355225°		 ← 164.24 m →
26 973 m²		 N 82.273524°
W120.344238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165695190429688 y=0.0710296630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165695190429688 × 215)
    floor (0.165695190429688 × 32768)
    floor (5429.5)     		tx = 5429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0710296630859375 × 215)
    floor (0.0710296630859375 × 32768)
    floor (2327.5)     		ty = 2327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5429 / 2327 ti = "15/5429/2327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5429/2327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5429 ÷ 215
    5429 ÷ 32768     		x = 0.165679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2327 ÷ 215
    2327 ÷ 32768     		y = 0.071014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.66864013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10059494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071014404296875 × 2 - 1) × π
    0.85797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69539599183652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10059494} λ = -2.10059494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69539599183652))-π/2
    2×atan(14.8113827788259)-π/2
    2×1.503382993196-π/2
    3.00676598639199-1.57079632675     		φ = 1.43596966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10059494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.355225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43596966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.275001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5429 KachelY 2327 -2.10059494 1.43596966 -120.355225 82.275001
    Oben rechts KachelX + 1 5430 KachelY 2327 -2.10040319 1.43596966 -120.344238 82.275001
    Unten links KachelX 5429 KachelY + 1 2328 -2.10059494 1.43594388 -120.355225 82.273524
    Unten rechts KachelX + 1 5430 KachelY + 1 2328 -2.10040319 1.43594388 -120.344238 82.273524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43596966-1.43594388) × R
    2.57800000000863e-05 × 6371000     		dl = 164.24438000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43596966-1.43594388) × R
    2.57800000000863e-05 × 6371000     		dr = 164.24438000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10059494--2.10040319) × cos(1.43596966) × R
    0.000191749999999935 × 0.134418552882687 × 6371000     		do = 164.210980129635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10059494--2.10040319) × cos(1.43594388) × R
    0.000191749999999935 × 0.134444098875372 × 6371000     		du = 164.242188116979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43596966)-sin(1.43594388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134418552882687-0.134444098875372)×R²
    abs(-2.10040319--2.10059494)×2.55459926849499e-05×R²
    0.000191749999999935×2.55459926849499e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.55459926849499e-05×40589641000000     		ar = 26973.2934908918m²