Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54289 / 12760
↖ ↑ ↗
← N 80.890238°
W 30.890808°		 ← 48.36 m → N 80.890238°
W 30.888061°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
N 80.889803°
W 30.890808°		 ← 48.36 m →
2 338 m²		 N 80.889803°
W 30.888061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414196014404297 y=0.0973548889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414196014404297 × 217)
    floor (0.414196014404297 × 131072)
    floor (54289.5)     		tx = 54289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0973548889160156 × 217)
    floor (0.0973548889160156 × 131072)
    floor (12760.5)     		ty = 12760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54289 / 12760 ti = "17/54289/12760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54289/12760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54289 ÷ 217
    54289 ÷ 131072     		x = 0.414192199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12760 ÷ 217
    12760 ÷ 131072     		y = 0.09735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414192199707031 × 2 - 1) × π
    -0.171615600585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.53914631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09735107421875 × 2 - 1) × π
    0.8052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52991781434808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53914631} λ = -0.53914631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52991781434808))-π/2
    2×atan(12.5524744609776)-π/2
    2×1.49129865576389-π/2
    2.98259731152778-1.57079632675     		φ = 1.41180098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53914631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.890808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41180098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.890238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54289 KachelY 12760 -0.53914631 1.41180098 -30.890808 80.890238
    Oben rechts KachelX + 1 54290 KachelY 12760 -0.53909837 1.41180098 -30.888061 80.890238
    Unten links KachelX 54289 KachelY + 1 12761 -0.53914631 1.41179339 -30.890808 80.889803
    Unten rechts KachelX + 1 54290 KachelY + 1 12761 -0.53909837 1.41179339 -30.888061 80.889803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41180098-1.41179339) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41180098-1.41179339) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53914631--0.53909837) × cos(1.41180098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158326305324521 × 6371000     		do = 48.356928965176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53914631--0.53909837) × cos(1.41179339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158333799586112 × 6371000     		du = 48.3592179055681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41180098)-sin(1.41179339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158326305324521-0.158333799586112)×R²
    abs(-0.53909837--0.53914631)×7.49426159066258e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49426159066258e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49426159066258e-06×40589641000000     		ar = 2338.39767958088m²