Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54288 / 89104
↖ ↑ ↗
← S 54.188156°
W 30.893555°		 ← 178.71 m → S 54.188156°
W 30.890808°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
S 54.189763°
W 30.893555°		 ← 178.71 m →
31 936 m²		 S 54.189763°
W 30.890808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414188385009766 y=0.679813385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414188385009766 × 217)
    floor (0.414188385009766 × 131072)
    floor (54288.5)     		tx = 54288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679813385009766 × 217)
    floor (0.679813385009766 × 131072)
    floor (89104.5)     		ty = 89104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54288 / 89104 ti = "17/54288/89104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54288/89104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54288 ÷ 217
    54288 ÷ 131072     		x = 0.4141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89104 ÷ 217
    89104 ÷ 131072     		y = 0.6798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53919425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53919425} λ = -0.53919425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12977685024548))-π/2
    2×atan(0.323105349257574)-π/2
    2×0.312517299043241-π/2
    0.625034598086482-1.57079632675     		φ = -0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53919425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.893555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54288 KachelY 89104 -0.53919425 -0.94576173 -30.893555 -54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 54289 KachelY 89104 -0.53914631 -0.94576173 -30.890808 -54.188156
    Unten links KachelX 54288 KachelY + 1 89105 -0.53919425 -0.94578978 -30.893555 -54.189763
    Unten rechts KachelX + 1 54289 KachelY + 1 89105 -0.53914631 -0.94578978 -30.890808 -54.189763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94576173--0.94578978) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94576173--0.94578978) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53919425--0.53914631) × cos(-0.94576173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 178.712336698663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53919425--0.53914631) × cos(-0.94578978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585102582137135 × 6371000     		du = 178.705389125028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94576173)-sin(-0.94578978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.585102582137135)×R²
    abs(-0.53914631--0.53919425)×2.27471778727617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27471778727617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27471778727617e-05×40589641000000     		ar = 31936.4443475545m²