Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54288 / 12917
↖ ↑ ↗
← N 80.821711°
W 30.893555°		 ← 48.72 m → N 80.821711°
W 30.890808°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.821273°
W 30.893555°		 ← 48.72 m →
2 374 m²		 N 80.821273°
W 30.890808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414188385009766 y=0.0985527038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414188385009766 × 217)
    floor (0.414188385009766 × 131072)
    floor (54288.5)     		tx = 54288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985527038574219 × 217)
    floor (0.0985527038574219 × 131072)
    floor (12917.5)     		ty = 12917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54288 / 12917 ti = "17/54288/12917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54288/12917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54288 ÷ 217
    54288 ÷ 131072     		x = 0.4141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12917 ÷ 217
    12917 ÷ 131072     		y = 0.0985488891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53919425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985488891601562 × 2 - 1) × π
    0.802902221679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.52239172110773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53919425} λ = -0.53919425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52239172110773))-π/2
    2×atan(12.4583579767508)-π/2
    2×1.49070064745773-π/2
    2.98140129491545-1.57079632675     		φ = 1.41060497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53919425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.893555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41060497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.821711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54288 KachelY 12917 -0.53919425 1.41060497 -30.893555 80.821711
    Oben rechts KachelX + 1 54289 KachelY 12917 -0.53914631 1.41060497 -30.890808 80.821711
    Unten links KachelX 54288 KachelY + 1 12918 -0.53919425 1.41059732 -30.893555 80.821273
    Unten rechts KachelX + 1 54289 KachelY + 1 12918 -0.53914631 1.41059732 -30.890808 80.821273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41060497-1.41059732) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dl = 48.738150000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41060497-1.41059732) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dr = 48.738150000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53919425--0.53914631) × cos(1.41060497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159507116344963 × 6371000     		do = 48.7175790448945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53919425--0.53914631) × cos(1.41059732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159514668395653 × 6371000     		du = 48.7198856355649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41060497)-sin(1.41059732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159507116344963-0.159514668395653)×R²
    abs(-0.53914631--0.53919425)×7.55205068958542e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.55205068958542e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.55205068958542e-06×40589641000000     		ar = 2374.46088477238m²