Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54285 / 12903
↖ ↑ ↗
← N 80.827843°
W 30.901795°		 ← 48.69 m → N 80.827843°
W 30.899048°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.827405°
W 30.901795°		 ← 48.69 m →
2 370 m²		 N 80.827405°
W 30.899048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414165496826172 y=0.0984458923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414165496826172 × 217)
    floor (0.414165496826172 × 131072)
    floor (54285.5)     		tx = 54285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984458923339844 × 217)
    floor (0.0984458923339844 × 131072)
    floor (12903.5)     		ty = 12903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54285 / 12903 ti = "17/54285/12903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54285/12903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54285 ÷ 217
    54285 ÷ 131072     		x = 0.414161682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12903 ÷ 217
    12903 ÷ 131072     		y = 0.0984420776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414161682128906 × 2 - 1) × π
    -0.171676635742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.53933806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0984420776367188 × 2 - 1) × π
    0.803115844726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.52306283770242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53933806} λ = -0.53933806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52306283770242))-π/2
    2×atan(12.4667217937657)-π/2
    2×1.49075415366809-π/2
    2.98150830733617-1.57079632675     		φ = 1.41071198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53933806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.901795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41071198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.827843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54285 KachelY 12903 -0.53933806 1.41071198 -30.901795 80.827843
    Oben rechts KachelX + 1 54286 KachelY 12903 -0.53929012 1.41071198 -30.899048 80.827843
    Unten links KachelX 54285 KachelY + 1 12904 -0.53933806 1.41070434 -30.901795 80.827405
    Unten rechts KachelX + 1 54286 KachelY + 1 12904 -0.53929012 1.41070434 -30.899048 80.827405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41071198-1.41070434) × R
    7.64000000019749e-06 × 6371000     		dl = 48.6744400012582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41071198-1.41070434) × R
    7.64000000019749e-06 × 6371000     		dr = 48.6744400012582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53933806--0.53929012) × cos(1.41071198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159401475504609 × 6371000     		do = 48.6853136130552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53933806--0.53929012) × cos(1.41070434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159409017813709 × 6371000     		du = 48.6876172283934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41071198)-sin(1.41070434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159401475504609-0.159409017813709)×R²
    abs(-0.53929012--0.53933806)×7.54230910002263e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54230910002263e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54230910002263e-06×40589641000000     		ar = 2369.78643983076m²