Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54284 / 50818
↖ ↑ ↗
← S 69.903893°
E118.190918°		 ← 209.89 m → S 69.903893°
E118.196411°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 69.905780°
E118.190918°		 ← 209.87 m →
44 045 m²		 S 69.905780°
E118.196411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828315734863281 y=0.775428771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828315734863281 × 216)
    floor (0.828315734863281 × 65536)
    floor (54284.5)     		tx = 54284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775428771972656 × 216)
    floor (0.775428771972656 × 65536)
    floor (50818.5)     		ty = 50818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54284 / 50818 ti = "16/54284/50818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54284/50818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54284 ÷ 216
    54284 ÷ 65536     		x = 0.82830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50818 ÷ 216
    50818 ÷ 65536     		y = 0.775421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82830810546875 × 2 - 1) × π
    0.6566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06282066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.55084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73052207628403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06282066} λ = 2.06282066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73052207628403))-π/2
    2×atan(0.177191878140343)-π/2
    2×0.175371618538011-π/2
    0.350743237076022-1.57079632675     		φ = -1.22005309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06282066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.190918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22005309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.903893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54284 KachelY 50818 2.06282066 -1.22005309 118.190918 -69.903893
    Oben rechts KachelX + 1 54285 KachelY 50818 2.06291654 -1.22005309 118.196411 -69.903893
    Unten links KachelX 54284 KachelY + 1 50819 2.06282066 -1.22008603 118.190918 -69.905780
    Unten rechts KachelX + 1 54285 KachelY + 1 50819 2.06291654 -1.22008603 118.196411 -69.905780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22005309--1.22008603) × R
    3.29400000000923e-05 × 6371000     		dl = 209.860740000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22005309--1.22008603) × R
    3.29400000000923e-05 × 6371000     		dr = 209.860740000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06282066-2.06291654) × cos(-1.22005309) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343595889046952 × 6371000     		do = 209.886057346109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06282066-2.06291654) × cos(-1.22008603) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343564954326834 × 6371000     		du = 209.867160826541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22005309)-sin(-1.22008603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343595889046952-0.343564954326834)×R²
    abs(2.06291654-2.06282066)×3.09347201187249e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09347201187249e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09347201187249e-05×40589641000000     		ar = 44044.86049576m²