Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54284 / 14828
↖ ↑ ↗
← N 79.945513°
W 30.904541°		 ← 53.31 m → N 79.945513°
W 30.901795°		 →
↑
53.33 m
↓
↑
53.33 m
↓
N 79.945033°
W 30.904541°		 ← 53.31 m →
2 843 m²		 N 79.945033°
W 30.901795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414157867431641 y=0.113132476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414157867431641 × 217)
    floor (0.414157867431641 × 131072)
    floor (54284.5)     		tx = 54284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113132476806641 × 217)
    floor (0.113132476806641 × 131072)
    floor (14828.5)     		ty = 14828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54284 / 14828 ti = "17/54284/14828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54284/14828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54284 ÷ 217
    54284 ÷ 131072     		x = 0.414154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14828 ÷ 217
    14828 ÷ 131072     		y = 0.113128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.17169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53938599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113128662109375 × 2 - 1) × π
    0.77374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43078430593381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53938599} λ = -0.53938599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43078430593381))-π/2
    2×atan(11.3677944131593)-π/2
    2×1.48305437536542-π/2
    2.96610875073083-1.57079632675     		φ = 1.39531242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53938599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.904541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39531242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.945513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54284 KachelY 14828 -0.53938599 1.39531242 -30.904541 79.945513
    Oben rechts KachelX + 1 54285 KachelY 14828 -0.53933806 1.39531242 -30.901795 79.945513
    Unten links KachelX 54284 KachelY + 1 14829 -0.53938599 1.39530405 -30.904541 79.945033
    Unten rechts KachelX + 1 54285 KachelY + 1 14829 -0.53933806 1.39530405 -30.901795 79.945033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39531242-1.39530405) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dl = 53.3252699998712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39531242-1.39530405) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dr = 53.3252699998712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53938599--0.53933806) × cos(1.39531242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174584633053206 × 6371000     		do = 53.3115179559646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53938599--0.53933806) × cos(1.39530405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174592874502066 × 6371000     		du = 53.3140345815186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39531242)-sin(1.39530405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174584633053206-0.174592874502066)×R²
    abs(-0.53933806--0.53938599)×8.24144885994138e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.24144885994138e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.24144885994138e-06×40589641000000     		ar = 2842.91818883464m²