Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54284 / 12901
↖ ↑ ↗
← N 80.828718°
W 30.904541°		 ← 48.67 m → N 80.828718°
W 30.901795°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.828280°
W 30.904541°		 ← 48.67 m →
2 369 m²		 N 80.828280°
W 30.901795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414157867431641 y=0.0984306335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414157867431641 × 217)
    floor (0.414157867431641 × 131072)
    floor (54284.5)     		tx = 54284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984306335449219 × 217)
    floor (0.0984306335449219 × 131072)
    floor (12901.5)     		ty = 12901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54284 / 12901 ti = "17/54284/12901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54284/12901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54284 ÷ 217
    54284 ÷ 131072     		x = 0.414154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12901 ÷ 217
    12901 ÷ 131072     		y = 0.0984268188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.17169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53938599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0984268188476562 × 2 - 1) × π
    0.803146362304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.52315871150166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53938599} λ = -0.53938599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52315871150166))-π/2
    2×atan(12.4679170830457)-π/2
    2×1.49076179451899-π/2
    2.98152358903798-1.57079632675     		φ = 1.41072726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53938599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.904541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41072726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.828718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54284 KachelY 12901 -0.53938599 1.41072726 -30.904541 80.828718
    Oben rechts KachelX + 1 54285 KachelY 12901 -0.53933806 1.41072726 -30.901795 80.828718
    Unten links KachelX 54284 KachelY + 1 12902 -0.53938599 1.41071962 -30.904541 80.828280
    Unten rechts KachelX + 1 54285 KachelY + 1 12902 -0.53933806 1.41071962 -30.901795 80.828280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41072726-1.41071962) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41072726-1.41071962) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53938599--0.53933806) × cos(1.41072726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159386390858497 × 6371000     		do = 48.670551866954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53938599--0.53933806) × cos(1.41071962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159393933186205 × 6371000     		du = 48.6728550074537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41072726)-sin(1.41071962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159386390858497-0.159393933186205)×R²
    abs(-0.53933806--0.53938599)×7.5423277077491e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.5423277077491e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.5423277077491e-06×40589641000000     		ar = 2369.06790861805m²