Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54282 / 14823
↖ ↑ ↗
← N 79.947910°
W 30.910034°		 ← 53.31 m → N 79.947910°
W 30.907288°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.947431°
W 30.910034°		 ← 53.31 m →
2 839 m²		 N 79.947431°
W 30.907288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414142608642578 y=0.113094329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414142608642578 × 217)
    floor (0.414142608642578 × 131072)
    floor (54282.5)     		tx = 54282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113094329833984 × 217)
    floor (0.113094329833984 × 131072)
    floor (14823.5)     		ty = 14823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54282 / 14823 ti = "17/54282/14823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54282/14823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54282 ÷ 217
    54282 ÷ 131072     		x = 0.414138793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14823 ÷ 217
    14823 ÷ 131072     		y = 0.113090515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414138793945312 × 2 - 1) × π
    -0.171722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53948187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113090515136719 × 2 - 1) × π
    0.773818969726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43102399043191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53948187} λ = -0.53948187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43102399043191))-π/2
    2×atan(11.370519423816)-π/2
    2×1.48307529551131-π/2
    2.96615059102262-1.57079632675     		φ = 1.39535426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53948187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.910034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39535426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.947910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54282 KachelY 14823 -0.53948187 1.39535426 -30.910034 79.947910
    Oben rechts KachelX + 1 54283 KachelY 14823 -0.53943393 1.39535426 -30.907288 79.947910
    Unten links KachelX 54282 KachelY + 1 14824 -0.53948187 1.39534590 -30.910034 79.947431
    Unten rechts KachelX + 1 54283 KachelY + 1 14824 -0.53943393 1.39534590 -30.907288 79.947431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39535426-1.39534590) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39535426-1.39534590) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53948187--0.53943393) × cos(1.39535426) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174543435471949 × 6371000     		do = 53.3100579412509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53948187--0.53943393) × cos(1.39534590) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174551667135463 × 6371000     		du = 53.312572103171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39535426)-sin(1.39534590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174543435471949-0.174551667135463)×R²
    abs(-0.53943393--0.53948187)×8.23166351374138e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.23166351374138e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.23166351374138e-06×40589641000000     		ar = 2839.44380377675m²