Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54280 / 21208
↖ ↑ ↗
← N 53.461890°
E118.168945°		 ← 363.64 m → N 53.461890°
E118.174438°		 →
↑
363.66 m
↓
↑
363.66 m
↓
N 53.458620°
E118.168945°		 ← 363.66 m →
132 244 m²		 N 53.458620°
E118.174438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828254699707031 y=0.323616027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828254699707031 × 216)
    floor (0.828254699707031 × 65536)
    floor (54280.5)     		tx = 54280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323616027832031 × 216)
    floor (0.323616027832031 × 65536)
    floor (21208.5)     		ty = 21208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54280 / 21208 ti = "16/54280/21208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54280/21208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54280 ÷ 216
    54280 ÷ 65536     		x = 0.8282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21208 ÷ 216
    21208 ÷ 65536     		y = 0.3236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8282470703125 × 2 - 1) × π
    0.656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06243717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3236083984375 × 2 - 1) × π
    0.352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06243717} λ = 2.06243717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1083011192157))-π/2
    2×atan(3.02920775766441)-π/2
    2×1.25194116958494-π/2
    2.50388233916989-1.57079632675     		φ = 0.93308601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06243717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93308601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.461890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54280 KachelY 21208 2.06243717 0.93308601 118.168945 53.461890
    Oben rechts KachelX + 1 54281 KachelY 21208 2.06253304 0.93308601 118.174438 53.461890
    Unten links KachelX 54280 KachelY + 1 21209 2.06243717 0.93302893 118.168945 53.458620
    Unten rechts KachelX + 1 54281 KachelY + 1 21209 2.06253304 0.93302893 118.174438 53.458620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93308601-0.93302893) × R
    5.70800000000427e-05 × 6371000     		dl = 363.656680000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93308601-0.93302893) × R
    5.70800000000427e-05 × 6371000     		dr = 363.656680000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06243717-2.06253304) × cos(0.93308601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595357332338995 × 6371000     		do = 363.636977372476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06243717-2.06253304) × cos(0.93302893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595403192925402 × 6371000     		du = 363.664988457778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93308601)-sin(0.93302893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595357332338995-0.595403192925402)×R²
    abs(2.06253304-2.06243717)×4.58605864068762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58605864068762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58605864068762e-05×40589641000000     		ar = 132244.10916189m²