Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5428 / 2328
↖ ↑ ↗
← N 82.273524°
W120.366211°		 ← 164.24 m → N 82.273524°
W120.355225°		 →
↑
164.24 m
↓
↑
164.24 m
↓
N 82.272047°
W120.366211°		 ← 164.27 m →
26 978 m²		 N 82.272047°
W120.355225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165664672851562 y=0.0710601806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165664672851562 × 215)
    floor (0.165664672851562 × 32768)
    floor (5428.5)     		tx = 5428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0710601806640625 × 215)
    floor (0.0710601806640625 × 32768)
    floor (2328.5)     		ty = 2328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5428 / 2328 ti = "15/5428/2328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5428/2328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5428 ÷ 215
    5428 ÷ 32768     		x = 0.1656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2328 ÷ 215
    2328 ÷ 32768     		y = 0.071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10078669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071044921875 × 2 - 1) × π
    0.85791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69520424423804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10078669} λ = -2.10078669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69520424423804))-π/2
    2×atan(14.8085430040166)-π/2
    2×1.5033701047542-π/2
    3.00674020950839-1.57079632675     		φ = 1.43594388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10078669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43594388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.273524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5428 KachelY 2328 -2.10078669 1.43594388 -120.366211 82.273524
    Oben rechts KachelX + 1 5429 KachelY 2328 -2.10059494 1.43594388 -120.355225 82.273524
    Unten links KachelX 5428 KachelY + 1 2329 -2.10078669 1.43591810 -120.366211 82.272047
    Unten rechts KachelX + 1 5429 KachelY + 1 2329 -2.10059494 1.43591810 -120.355225 82.272047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43594388-1.43591810) × R
    2.57799999998642e-05 × 6371000     		dl = 164.244379999135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43594388-1.43591810) × R
    2.57799999998642e-05 × 6371000     		dr = 164.244379999135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10078669--2.10059494) × cos(1.43594388) × R
    0.000191749999999935 × 0.134444098875372 × 6371000     		do = 164.242188116979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10078669--2.10059494) × cos(1.43591810) × R
    0.000191749999999935 × 0.134469644778704 × 6371000     		du = 164.273395995167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43594388)-sin(1.43591810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134444098875372-0.134469644778704)×R²
    abs(-2.10059494--2.10078669)×2.55459033320637e-05×R²
    0.000191749999999935×2.55459033320637e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.55459033320637e-05×40589641000000     		ar = 26978.419217507m²