Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54278 / 89102
↖ ↑ ↗
← S 54.184941°
W 30.921021°		 ← 178.73 m → S 54.184941°
W 30.918274°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
S 54.186548°
W 30.921021°		 ← 178.72 m →
31 939 m²		 S 54.186548°
W 30.918274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414112091064453 y=0.679798126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414112091064453 × 217)
    floor (0.414112091064453 × 131072)
    floor (54278.5)     		tx = 54278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679798126220703 × 217)
    floor (0.679798126220703 × 131072)
    floor (89102.5)     		ty = 89102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54278 / 89102 ti = "17/54278/89102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54278/89102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54278 ÷ 217
    54278 ÷ 131072     		x = 0.414108276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89102 ÷ 217
    89102 ÷ 131072     		y = 0.679794311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414108276367188 × 2 - 1) × π
    -0.171783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53967362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679794311523438 × 2 - 1) × π
    -0.359588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12968097644624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53967362} λ = -0.53967362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12968097644624))-π/2
    2×atan(0.323136328079967)-π/2
    2×0.312545349227864-π/2
    0.625090698455728-1.57079632675     		φ = -0.94570563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53967362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.921021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94570563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.184941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54278 KachelY 89102 -0.53967362 -0.94570563 -30.921021 -54.184941
    Oben rechts KachelX + 1 54279 KachelY 89102 -0.53962568 -0.94570563 -30.918274 -54.184941
    Unten links KachelX 54278 KachelY + 1 89103 -0.53967362 -0.94573368 -30.921021 -54.186548
    Unten rechts KachelX + 1 54279 KachelY + 1 89103 -0.53962568 -0.94573368 -30.918274 -54.186548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94570563--0.94573368) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94570563--0.94573368) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53967362--0.53962568) × cos(-0.94570563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585170822289601 × 6371000     		do = 178.726231424093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53967362--0.53962568) × cos(-0.94573368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585148076032503 × 6371000     		du = 178.719284131686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94570563)-sin(-0.94573368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585170822289601-0.585148076032503)×R²
    abs(-0.53962568--0.53967362)×2.27462570987491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27462570987491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27462570987491e-05×40589641000000     		ar = 31938.9274512222m²