Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54278 / 50010
↖ ↑ ↗
← S 68.322204°
E118.157959°		 ← 225.64 m → S 68.322204°
E118.163452°		 →
↑
225.66 m
↓
↑
225.66 m
↓
S 68.324234°
E118.157959°		 ← 225.62 m →
50 916 m²		 S 68.324234°
E118.163452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828224182128906 y=0.763099670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828224182128906 × 216)
    floor (0.828224182128906 × 65536)
    floor (54278.5)     		tx = 54278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763099670410156 × 216)
    floor (0.763099670410156 × 65536)
    floor (50010.5)     		ty = 50010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54278 / 50010 ti = "16/54278/50010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54278/50010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54278 ÷ 216
    54278 ÷ 65536     		x = 0.828216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50010 ÷ 216
    50010 ÷ 65536     		y = 0.763092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828216552734375 × 2 - 1) × π
    0.65643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06224542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.52618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65305604649802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06224542} λ = 2.06224542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65305604649802))-π/2
    2×atan(0.191463891074593)-π/2
    2×0.189174452282968-π/2
    0.378348904565936-1.57079632675     		φ = -1.19244742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06224542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.157959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19244742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.322204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54278 KachelY 50010 2.06224542 -1.19244742 118.157959 -68.322204
    Oben rechts KachelX + 1 54279 KachelY 50010 2.06234130 -1.19244742 118.163452 -68.322204
    Unten links KachelX 54278 KachelY + 1 50011 2.06224542 -1.19248284 118.157959 -68.324234
    Unten rechts KachelX + 1 54279 KachelY + 1 50011 2.06234130 -1.19248284 118.163452 -68.324234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19244742--1.19248284) × R
    3.54200000001192e-05 × 6371000     		dl = 225.66082000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19244742--1.19248284) × R
    3.54200000001192e-05 × 6371000     		dr = 225.66082000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06224542-2.06234130) × cos(-1.19244742) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369386652655367 × 6371000     		do = 225.640383466629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06224542-2.06234130) × cos(-1.19248284) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369353737475048 × 6371000     		du = 225.620277180016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19244742)-sin(-1.19248284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369386652655367-0.369353737475048)×R²
    abs(2.06234130-2.06224542)×3.29151803195593e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.29151803195593e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.29151803195593e-05×40589641000000     		ar = 50915.9253631534m²