Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54278 / 12923
↖ ↑ ↗
← N 80.819082°
W 30.921021°		 ← 48.73 m → N 80.819082°
W 30.918274°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.818644°
W 30.921021°		 ← 48.73 m →
2 372 m²		 N 80.818644°
W 30.918274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414112091064453 y=0.0985984802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414112091064453 × 217)
    floor (0.414112091064453 × 131072)
    floor (54278.5)     		tx = 54278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985984802246094 × 217)
    floor (0.0985984802246094 × 131072)
    floor (12923.5)     		ty = 12923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54278 / 12923 ti = "17/54278/12923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54278/12923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54278 ÷ 217
    54278 ÷ 131072     		x = 0.414108276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12923 ÷ 217
    12923 ÷ 131072     		y = 0.0985946655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414108276367188 × 2 - 1) × π
    -0.171783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53967362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985946655273438 × 2 - 1) × π
    0.802810668945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.52210409971001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53967362} λ = -0.53967362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52210409971001))-π/2
    2×atan(12.4547752016823)-π/2
    2×1.49067770537067-π/2
    2.98135541074134-1.57079632675     		φ = 1.41055908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53967362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.921021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41055908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.819082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54278 KachelY 12923 -0.53967362 1.41055908 -30.921021 80.819082
    Oben rechts KachelX + 1 54279 KachelY 12923 -0.53962568 1.41055908 -30.918274 80.819082
    Unten links KachelX 54278 KachelY + 1 12924 -0.53967362 1.41055144 -30.921021 80.818644
    Unten rechts KachelX + 1 54279 KachelY + 1 12924 -0.53962568 1.41055144 -30.918274 80.818644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41055908-1.41055144) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41055908-1.41055144) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53967362--0.53962568) × cos(1.41055908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159552418637168 × 6371000     		do = 48.731415531015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53967362--0.53962568) × cos(1.41055144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15955996075997 × 6371000     		du = 48.7337190894528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41055908)-sin(1.41055144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159552418637168-0.15955996075997)×R²
    abs(-0.53962568--0.53967362)×7.54212280143496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54212280143496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54212280143496e-06×40589641000000     		ar = 2372.0304235709m²