Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54278 / 12921
↖ ↑ ↗
← N 80.819959°
W 30.921021°		 ← 48.73 m → N 80.819959°
W 30.918274°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.819520°
W 30.921021°		 ← 48.73 m →
2 375 m²		 N 80.819520°
W 30.918274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414112091064453 y=0.0985832214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414112091064453 × 217)
    floor (0.414112091064453 × 131072)
    floor (54278.5)     		tx = 54278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985832214355469 × 217)
    floor (0.0985832214355469 × 131072)
    floor (12921.5)     		ty = 12921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54278 / 12921 ti = "17/54278/12921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54278/12921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54278 ÷ 217
    54278 ÷ 131072     		x = 0.414108276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12921 ÷ 217
    12921 ÷ 131072     		y = 0.0985794067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414108276367188 × 2 - 1) × π
    -0.171783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53967362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985794067382812 × 2 - 1) × π
    0.802841186523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.52219997350925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53967362} λ = -0.53967362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52219997350925))-π/2
    2×atan(12.4559693455422)-π/2
    2×1.49068535345683-π/2
    2.98137070691365-1.57079632675     		φ = 1.41057438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53967362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.921021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41057438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.819959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54278 KachelY 12921 -0.53967362 1.41057438 -30.921021 80.819959
    Oben rechts KachelX + 1 54279 KachelY 12921 -0.53962568 1.41057438 -30.918274 80.819959
    Unten links KachelX 54278 KachelY + 1 12922 -0.53967362 1.41056673 -30.921021 80.819520
    Unten rechts KachelX + 1 54279 KachelY + 1 12922 -0.53962568 1.41056673 -30.918274 80.819520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41057438-1.41056673) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41057438-1.41056673) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53967362--0.53962568) × cos(1.41057438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159537314619789 × 6371000     		do = 48.72680237533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53967362--0.53962568) × cos(1.41056673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159544866633147 × 6371000     		du = 48.7291089545984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41057438)-sin(1.41056673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159537314619789-0.159544866633147)×R²
    abs(-0.53962568--0.53967362)×7.55201335814193e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.55201335814193e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.55201335814193e-06×40589641000000     		ar = 2374.91041232252m²