Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54275 / 50836
↖ ↑ ↗
← S 69.937839°
E118.141479°		 ← 209.52 m → S 69.937839°
E118.146972°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
S 69.939723°
E118.141479°		 ← 209.51 m →
43 902 m²		 S 69.939723°
E118.146972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828178405761719 y=0.775703430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828178405761719 × 216)
    floor (0.828178405761719 × 65536)
    floor (54275.5)     		tx = 54275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775703430175781 × 216)
    floor (0.775703430175781 × 65536)
    floor (50836.5)     		ty = 50836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54275 / 50836 ti = "16/54275/50836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54275/50836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54275 ÷ 216
    54275 ÷ 65536     		x = 0.828170776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50836 ÷ 216
    50836 ÷ 65536     		y = 0.77569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828170776367188 × 2 - 1) × π
    0.656341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06195780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.5513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73224780467035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06195780} λ = 2.06195780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73224780467035))-π/2
    2×atan(0.176886356785672)-π/2
    2×0.175075382079969-π/2
    0.350150764159939-1.57079632675     		φ = -1.22064556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06195780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.141479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22064556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.937839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54275 KachelY 50836 2.06195780 -1.22064556 118.141479 -69.937839
    Oben rechts KachelX + 1 54276 KachelY 50836 2.06205367 -1.22064556 118.146972 -69.937839
    Unten links KachelX 54275 KachelY + 1 50837 2.06195780 -1.22067845 118.141479 -69.939723
    Unten rechts KachelX + 1 54276 KachelY + 1 50837 2.06205367 -1.22067845 118.146972 -69.939723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22064556--1.22067845) × R
    3.28900000001742e-05 × 6371000     		dl = 209.54219000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22064556--1.22067845) × R
    3.28900000001742e-05 × 6371000     		dr = 209.54219000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06195780-2.06205367) × cos(-1.22064556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343039429770903 × 6371000     		do = 209.524288331837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06195780-2.06205367) × cos(-1.22067845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343008535317527 × 6371000     		du = 209.505418377554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22064556)-sin(-1.22067845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343039429770903-0.343008535317527)×R²
    abs(2.06205367-2.06195780)×3.08944533766176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08944533766176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08944533766176e-05×40589641000000     		ar = 43902.2012137421m²