Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54271 / 50827
↖ ↑ ↗
← S 69.920873°
E118.119507°		 ← 209.69 m → S 69.920873°
E118.125000°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
S 69.922759°
E118.119507°		 ← 209.68 m →
43 965 m²		 S 69.922759°
E118.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828117370605469 y=0.775566101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828117370605469 × 216)
    floor (0.828117370605469 × 65536)
    floor (54271.5)     		tx = 54271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775566101074219 × 216)
    floor (0.775566101074219 × 65536)
    floor (50827.5)     		ty = 50827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54271 / 50827 ti = "16/54271/50827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54271/50827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54271 ÷ 216
    54271 ÷ 65536     		x = 0.828109741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50827 ÷ 216
    50827 ÷ 65536     		y = 0.775558471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828109741210938 × 2 - 1) × π
    0.656219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06157431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775558471679688 × 2 - 1) × π
    -0.551116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73138494047719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06157431} λ = 2.06157431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73138494047719))-π/2
    2×atan(0.177039051557152)-π/2
    2×0.175223440290098-π/2
    0.350446880580196-1.57079632675     		φ = -1.22034945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06157431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.119507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22034945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.920873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54271 KachelY 50827 2.06157431 -1.22034945 118.119507 -69.920873
    Oben rechts KachelX + 1 54272 KachelY 50827 2.06167018 -1.22034945 118.125000 -69.920873
    Unten links KachelX 54271 KachelY + 1 50828 2.06157431 -1.22038236 118.119507 -69.922759
    Unten rechts KachelX + 1 54272 KachelY + 1 50828 2.06167018 -1.22038236 118.125000 -69.922759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22034945--1.22038236) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dl = 209.669610000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22034945--1.22038236) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dr = 209.669610000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06157431-2.06167018) × cos(-1.22034945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343317557070458 × 6371000     		do = 209.694165084908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06157431-2.06167018) × cos(-1.22038236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343286647174553 × 6371000     		du = 209.675285698517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22034945)-sin(-1.22038236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343317557070458-0.343286647174553)×R²
    abs(2.06167018-2.06157431)×3.09098959053178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09098959053178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09098959053178e-05×40589641000000     		ar = 43964.5145999949m²