Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54269 / 50825
↖ ↑ ↗
← S 69.917101°
E118.108521°		 ← 209.73 m → S 69.917101°
E118.114014°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 69.918987°
E118.108521°		 ← 209.71 m →
43 986 m²		 S 69.918987°
E118.114014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828086853027344 y=0.775535583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828086853027344 × 216)
    floor (0.828086853027344 × 65536)
    floor (54269.5)     		tx = 54269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775535583496094 × 216)
    floor (0.775535583496094 × 65536)
    floor (50825.5)     		ty = 50825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54269 / 50825 ti = "16/54269/50825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54269/50825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54269 ÷ 216
    54269 ÷ 65536     		x = 0.828079223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50825 ÷ 216
    50825 ÷ 65536     		y = 0.775527954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828079223632812 × 2 - 1) × π
    0.656158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06138256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775527954101562 × 2 - 1) × π
    -0.551055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73119319287871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06138256} λ = 2.06138256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73119319287871))-π/2
    2×atan(0.177073001624944)-π/2
    2×0.175256358413031-π/2
    0.350512716826062-1.57079632675     		φ = -1.22028361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06138256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.108521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22028361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.917101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54269 KachelY 50825 2.06138256 -1.22028361 118.108521 -69.917101
    Oben rechts KachelX + 1 54270 KachelY 50825 2.06147843 -1.22028361 118.114014 -69.917101
    Unten links KachelX 54269 KachelY + 1 50826 2.06138256 -1.22031653 118.108521 -69.918987
    Unten rechts KachelX + 1 54270 KachelY + 1 50826 2.06147843 -1.22031653 118.114014 -69.918987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22028361--1.22031653) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22028361--1.22031653) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06138256-2.06147843) × cos(-1.22028361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343379394530662 × 6371000     		do = 209.731934649329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06138256-2.06147843) × cos(-1.22031653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343348475986608 × 6371000     		du = 209.713049980754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22028361)-sin(-1.22031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343379394530662-0.343348475986608)×R²
    abs(2.06147843-2.06138256)×3.09185440540705e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09185440540705e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09185440540705e-05×40589641000000     		ar = 43985.7945959028m²