Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54269 / 12519
↖ ↑ ↗
← N 80.994443°
W 30.945740°		 ← 47.81 m → N 80.994443°
W 30.942993°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.994013°
W 30.945740°		 ← 47.81 m →
2 284 m²		 N 80.994013°
W 30.942993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414043426513672 y=0.0955162048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414043426513672 × 217)
    floor (0.414043426513672 × 131072)
    floor (54269.5)     		tx = 54269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955162048339844 × 217)
    floor (0.0955162048339844 × 131072)
    floor (12519.5)     		ty = 12519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54269 / 12519 ti = "17/54269/12519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54269/12519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54269 ÷ 217
    54269 ÷ 131072     		x = 0.414039611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12519 ÷ 217
    12519 ÷ 131072     		y = 0.0955123901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414039611816406 × 2 - 1) × π
    -0.171920776367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54010505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955123901367188 × 2 - 1) × π
    0.808975219726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.54147060715652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54010505} λ = -0.54010505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54147060715652))-π/2
    2×atan(12.6983315034992)-π/2
    2×1.49220801431062-π/2
    2.98441602862123-1.57079632675     		φ = 1.41361970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54010505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.945740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41361970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.994443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54269 KachelY 12519 -0.54010505 1.41361970 -30.945740 80.994443
    Oben rechts KachelX + 1 54270 KachelY 12519 -0.54005711 1.41361970 -30.942993 80.994443
    Unten links KachelX 54269 KachelY + 1 12520 -0.54010505 1.41361220 -30.945740 80.994013
    Unten rechts KachelX + 1 54270 KachelY + 1 12520 -0.54005711 1.41361220 -30.942993 80.994013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41361970-1.41361220) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41361970-1.41361220) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54010505--0.54005711) × cos(1.41361970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156530264261118 × 6371000     		do = 47.8083717943161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54010505--0.54005711) × cos(1.41361220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156537671805436 × 6371000     		du = 47.810634249021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41361970)-sin(1.41361220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156530264261118-0.156537671805436)×R²
    abs(-0.54005711--0.54010505)×7.40754431791113e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40754431791113e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40754431791113e-06×40589641000000     		ar = 2284.4575782231m²