Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54267 / 50123
↖ ↑ ↗
← S 68.550342°
E118.097534°		 ← 223.36 m → S 68.550342°
E118.103027°		 →
↑
223.37 m
↓
↑
223.37 m
↓
S 68.552351°
E118.097534°		 ← 223.34 m →
49 888 m²		 S 68.552351°
E118.103027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828056335449219 y=0.764823913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828056335449219 × 216)
    floor (0.828056335449219 × 65536)
    floor (54267.5)     		tx = 54267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764823913574219 × 216)
    floor (0.764823913574219 × 65536)
    floor (50123.5)     		ty = 50123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54267 / 50123 ti = "16/54267/50123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54267/50123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54267 ÷ 216
    54267 ÷ 65536     		x = 0.828048706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50123 ÷ 216
    50123 ÷ 65536     		y = 0.764816284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828048706054688 × 2 - 1) × π
    0.656097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06119081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764816284179688 × 2 - 1) × π
    -0.529632568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66388978581215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06119081} λ = 2.06119081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66388978581215))-π/2
    2×atan(0.189400816773732)-π/2
    2×0.187183576661394-π/2
    0.374367153322787-1.57079632675     		φ = -1.19642917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06119081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.097534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19642917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.550342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54267 KachelY 50123 2.06119081 -1.19642917 118.097534 -68.550342
    Oben rechts KachelX + 1 54268 KachelY 50123 2.06128668 -1.19642917 118.103027 -68.550342
    Unten links KachelX 54267 KachelY + 1 50124 2.06119081 -1.19646423 118.097534 -68.552351
    Unten rechts KachelX + 1 54268 KachelY + 1 50124 2.06128668 -1.19646423 118.103027 -68.552351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19642917--1.19646423) × R
    3.50599999998646e-05 × 6371000     		dl = 223.367259999138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19642917--1.19646423) × R
    3.50599999998646e-05 × 6371000     		dr = 223.367259999138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06119081-2.06128668) × cos(-1.19642917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365683590355193 × 6371000     		do = 223.355064678637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06119081-2.06128668) × cos(-1.19646423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365650958413094 × 6371000     		du = 223.335133487492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19642917)-sin(-1.19646423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365683590355193-0.365650958413094)×R²
    abs(2.06128668-2.06119081)×3.26319420994037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26319420994037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26319420994037e-05×40589641000000     		ar = 49887.9828213044m²