Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54267 / 12740
↖ ↑ ↗
← N 80.898931°
W 30.951233°		 ← 48.31 m → N 80.898931°
W 30.948486°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
N 80.898496°
W 30.951233°		 ← 48.31 m →
2 336 m²		 N 80.898496°
W 30.948486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414028167724609 y=0.0972023010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414028167724609 × 217)
    floor (0.414028167724609 × 131072)
    floor (54267.5)     		tx = 54267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0972023010253906 × 217)
    floor (0.0972023010253906 × 131072)
    floor (12740.5)     		ty = 12740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54267 / 12740 ti = "17/54267/12740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54267/12740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54267 ÷ 217
    54267 ÷ 131072     		x = 0.414024353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12740 ÷ 217
    12740 ÷ 131072     		y = 0.097198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414024353027344 × 2 - 1) × π
    -0.171951293945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.54020092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097198486328125 × 2 - 1) × π
    0.80560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53087655234048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54020092} λ = -0.54020092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53087655234048))-π/2
    2×atan(12.5645147659686)-π/2
    2×1.49137451657111-π/2
    2.98274903314223-1.57079632675     		φ = 1.41195271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54020092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.951233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41195271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.898931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54267 KachelY 12740 -0.54020092 1.41195271 -30.951233 80.898931
    Oben rechts KachelX + 1 54268 KachelY 12740 -0.54015298 1.41195271 -30.948486 80.898931
    Unten links KachelX 54267 KachelY + 1 12741 -0.54020092 1.41194512 -30.951233 80.898496
    Unten rechts KachelX + 1 54268 KachelY + 1 12741 -0.54015298 1.41194512 -30.948486 80.898496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41195271-1.41194512) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41195271-1.41194512) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54020092--0.54015298) × cos(1.41195271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158176487296659 × 6371000     		do = 48.3111706831511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54020092--0.54015298) × cos(1.41194512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158183981740501 × 6371000     		du = 48.3134596792075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41195271)-sin(1.41194512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158176487296659-0.158183981740501)×R²
    abs(-0.54015298--0.54020092)×7.4944438421265e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.4944438421265e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.4944438421265e-06×40589641000000     		ar = 2336.18499861747m²