Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54266 / 21207
↖ ↑ ↗
← N 53.465161°
E118.092041°		 ← 363.61 m → N 53.465161°
E118.097534°		 →
↑
363.66 m
↓
↑
363.66 m
↓
N 53.461890°
E118.092041°		 ← 363.64 m →
132 234 m²		 N 53.461890°
E118.097534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828041076660156 y=0.323600769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828041076660156 × 216)
    floor (0.828041076660156 × 65536)
    floor (54266.5)     		tx = 54266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323600769042969 × 216)
    floor (0.323600769042969 × 65536)
    floor (21207.5)     		ty = 21207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54266 / 21207 ti = "16/54266/21207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54266/21207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54266 ÷ 216
    54266 ÷ 65536     		x = 0.828033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21207 ÷ 216
    21207 ÷ 65536     		y = 0.323593139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828033447265625 × 2 - 1) × π
    0.65606689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06109494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323593139648438 × 2 - 1) × π
    0.352813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10839699301494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06109494} λ = 2.06109494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10839699301494))-π/2
    2×atan(3.02949819324319)-π/2
    2×1.25196970807033-π/2
    2.50393941614066-1.57079632675     		φ = 0.93314309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06109494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.092041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93314309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.465161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54266 KachelY 21207 2.06109494 0.93314309 118.092041 53.465161
    Oben rechts KachelX + 1 54267 KachelY 21207 2.06119081 0.93314309 118.097534 53.465161
    Unten links KachelX 54266 KachelY + 1 21208 2.06109494 0.93308601 118.092041 53.461890
    Unten rechts KachelX + 1 54267 KachelY + 1 21208 2.06119081 0.93308601 118.097534 53.461890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93314309-0.93308601) × R
    5.70799999999316e-05 × 6371000     		dl = 363.656679999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93314309-0.93308601) × R
    5.70799999999316e-05 × 6371000     		dr = 363.656679999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06109494-2.06119081) × cos(0.93314309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595311469812839 × 6371000     		do = 363.608965102398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06109494-2.06119081) × cos(0.93308601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595357332338995 × 6371000     		du = 363.636977372476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93314309)-sin(0.93308601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595311469812839-0.595357332338995)×R²
    abs(2.06119081-2.06109494)×4.58625261561263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58625261561263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58625261561263e-05×40589641000000     		ar = 132233.922527637m²