Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54265 / 50118
↖ ↑ ↗
← S 68.540296°
E118.086548°		 ← 223.48 m → S 68.540296°
E118.092041°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
S 68.542306°
E118.086548°		 ← 223.46 m →
49 930 m²		 S 68.542306°
E118.092041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828025817871094 y=0.764747619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828025817871094 × 216)
    floor (0.828025817871094 × 65536)
    floor (54265.5)     		tx = 54265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764747619628906 × 216)
    floor (0.764747619628906 × 65536)
    floor (50118.5)     		ty = 50118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54265 / 50118 ti = "16/54265/50118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54265/50118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54265 ÷ 216
    54265 ÷ 65536     		x = 0.828018188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50118 ÷ 216
    50118 ÷ 65536     		y = 0.764739990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828018188476562 × 2 - 1) × π
    0.656036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06099906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.52947998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66341041681595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06099906} λ = 2.06099906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66341041681595))-π/2
    2×atan(0.189491631418272)-π/2
    2×0.187271244903895-π/2
    0.37454248980779-1.57079632675     		φ = -1.19625384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06099906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.086548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19625384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.540296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54265 KachelY 50118 2.06099906 -1.19625384 118.086548 -68.540296
    Oben rechts KachelX + 1 54266 KachelY 50118 2.06109494 -1.19625384 118.092041 -68.540296
    Unten links KachelX 54265 KachelY + 1 50119 2.06099906 -1.19628891 118.086548 -68.542306
    Unten rechts KachelX + 1 54266 KachelY + 1 50119 2.06109494 -1.19628891 118.092041 -68.542306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19625384--1.19628891) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19625384--1.19628891) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06099906-2.06109494) × cos(-1.19625384) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365846771242648 × 6371000     		do = 223.478041666647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06099906-2.06109494) × cos(-1.19628891) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365814132241953 × 6371000     		du = 223.458104084766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19625384)-sin(-1.19628891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365846771242648-0.365814132241953)×R²
    abs(2.06109494-2.06099906)×3.26390006950006e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.26390006950006e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.26390006950006e-05×40589641000000     		ar = 49929.6882916708m²