Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54265 / 12521
↖ ↑ ↗
← N 80.993583°
W 30.956726°		 ← 47.81 m → N 80.993583°
W 30.953980°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.993153°
W 30.956726°		 ← 47.82 m →
2 285 m²		 N 80.993153°
W 30.953980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414012908935547 y=0.0955314636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414012908935547 × 217)
    floor (0.414012908935547 × 131072)
    floor (54265.5)     		tx = 54265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955314636230469 × 217)
    floor (0.0955314636230469 × 131072)
    floor (12521.5)     		ty = 12521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54265 / 12521 ti = "17/54265/12521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54265/12521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54265 ÷ 217
    54265 ÷ 131072     		x = 0.414009094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12521 ÷ 217
    12521 ÷ 131072     		y = 0.0955276489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414009094238281 × 2 - 1) × π
    -0.171981811523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54029680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955276489257812 × 2 - 1) × π
    0.808944702148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.54137473335728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54029680} λ = -0.54029680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54137473335728))-π/2
    2×atan(12.6971141245723)-π/2
    2×1.49220051037986-π/2
    2.98440102075972-1.57079632675     		φ = 1.41360469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54029680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.956726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41360469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.993583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54265 KachelY 12521 -0.54029680 1.41360469 -30.956726 80.993583
    Oben rechts KachelX + 1 54266 KachelY 12521 -0.54024886 1.41360469 -30.953980 80.993583
    Unten links KachelX 54265 KachelY + 1 12522 -0.54029680 1.41359719 -30.956726 80.993153
    Unten rechts KachelX + 1 54266 KachelY + 1 12522 -0.54024886 1.41359719 -30.953980 80.993153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41360469-1.41359719) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dl = 47.7825000010204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41360469-1.41359719) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dr = 47.7825000010204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54029680--0.54024886) × cos(1.41360469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156545089217657 × 6371000     		do = 47.8128997176374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54029680--0.54024886) × cos(1.41359719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156552496744352 × 6371000     		du = 47.81516216696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41360469)-sin(1.41359719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156545089217657-0.156552496744352)×R²
    abs(-0.54024886--0.54029680)×7.40752669547984e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40752669547984e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40752669547984e-06×40589641000000     		ar = 2284.67393349644m²