Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54264 / 12728
↖ ↑ ↗
← N 80.904143°
W 30.959473°		 ← 48.27 m → N 80.904143°
W 30.956726°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
N 80.903708°
W 30.959473°		 ← 48.28 m →
2 331 m²		 N 80.903708°
W 30.956726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414005279541016 y=0.0971107482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414005279541016 × 217)
    floor (0.414005279541016 × 131072)
    floor (54264.5)     		tx = 54264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971107482910156 × 217)
    floor (0.0971107482910156 × 131072)
    floor (12728.5)     		ty = 12728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54264 / 12728 ti = "17/54264/12728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54264/12728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54264 ÷ 217
    54264 ÷ 131072     		x = 0.41400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12728 ÷ 217
    12728 ÷ 131072     		y = 0.09710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.1719970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54034473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09710693359375 × 2 - 1) × π
    0.8057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53145179513593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54034473} λ = -0.54034473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53145179513593))-π/2
    2×atan(12.5717444917905)-π/2
    2×1.49141999859631-π/2
    2.98283999719262-1.57079632675     		φ = 1.41204367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54034473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.959473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41204367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.904143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54264 KachelY 12728 -0.54034473 1.41204367 -30.959473 80.904143
    Oben rechts KachelX + 1 54265 KachelY 12728 -0.54029680 1.41204367 -30.956726 80.904143
    Unten links KachelX 54264 KachelY + 1 12729 -0.54034473 1.41203609 -30.959473 80.903708
    Unten rechts KachelX + 1 54265 KachelY + 1 12729 -0.54029680 1.41203609 -30.956726 80.903708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41204367-1.41203609) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41204367-1.41203609) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54034473--0.54029680) × cos(1.41204367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158086671750953 × 6371000     		do = 48.2736670018441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54034473--0.54029680) × cos(1.41203609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158094156429729 × 6371000     		du = 48.2759525385491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41204367)-sin(1.41203609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158086671750953-0.158094156429729)×R²
    abs(-0.54029680--0.54034473)×7.48467877625947e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.48467877625947e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.48467877625947e-06×40589641000000     		ar = 2331.29580297024m²