Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54262 / 50805
↖ ↑ ↗
← S 69.879342°
E118.070068°		 ← 210.11 m → S 69.879342°
E118.075561°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 69.881231°
E118.070068°		 ← 210.09 m →
44 132 m²		 S 69.881231°
E118.075561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827980041503906 y=0.775230407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827980041503906 × 216)
    floor (0.827980041503906 × 65536)
    floor (54262.5)     		tx = 54262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775230407714844 × 216)
    floor (0.775230407714844 × 65536)
    floor (50805.5)     		ty = 50805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54262 / 50805 ti = "16/54262/50805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54262/50805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54262 ÷ 216
    54262 ÷ 65536     		x = 0.827972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50805 ÷ 216
    50805 ÷ 65536     		y = 0.775222778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827972412109375 × 2 - 1) × π
    0.65594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06071144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775222778320312 × 2 - 1) × π
    -0.550445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72927571689391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06071144} λ = 2.06071144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72927571689391))-π/2
    2×atan(0.177412860584683)-π/2
    2×0.175585865874426-π/2
    0.351171731748852-1.57079632675     		φ = -1.21962460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06071144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.070068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21962460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.879342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54262 KachelY 50805 2.06071144 -1.21962460 118.070068 -69.879342
    Oben rechts KachelX + 1 54263 KachelY 50805 2.06080731 -1.21962460 118.075561 -69.879342
    Unten links KachelX 54262 KachelY + 1 50806 2.06071144 -1.21965757 118.070068 -69.881231
    Unten rechts KachelX + 1 54263 KachelY + 1 50806 2.06080731 -1.21965757 118.075561 -69.881231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21962460--1.21965757) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21962460--1.21965757) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06071144-2.06080731) × cos(-1.21962460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343998259991963 × 6371000     		do = 210.109930104367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06071144-2.06080731) × cos(-1.21965757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343967301954688 × 6371000     		du = 210.091021313816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21962460)-sin(-1.21965757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343998259991963-0.343967301954688)×R²
    abs(2.06080731-2.06071144)×3.09580372753193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09580372753193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09580372753193e-05×40589641000000     		ar = 44131.9978146334m²