Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54262 / 50105
↖ ↑ ↗
← S 68.514156°
E118.070068°		 ← 223.71 m → S 68.514156°
E118.075561°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 68.516167°
E118.070068°		 ← 223.69 m →
50 039 m²		 S 68.516167°
E118.075561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827980041503906 y=0.764549255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827980041503906 × 216)
    floor (0.827980041503906 × 65536)
    floor (54262.5)     		tx = 54262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764549255371094 × 216)
    floor (0.764549255371094 × 65536)
    floor (50105.5)     		ty = 50105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54262 / 50105 ti = "16/54262/50105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54262/50105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54262 ÷ 216
    54262 ÷ 65536     		x = 0.827972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50105 ÷ 216
    50105 ÷ 65536     		y = 0.764541625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827972412109375 × 2 - 1) × π
    0.65594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06071144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764541625976562 × 2 - 1) × π
    -0.529083251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66216405742583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06071144} λ = 2.06071144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66216405742583))-π/2
    2×atan(0.189727953332866)-π/2
    2×0.187499365456361-π/2
    0.374998730912722-1.57079632675     		φ = -1.19579760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06071144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.070068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19579760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.514156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54262 KachelY 50105 2.06071144 -1.19579760 118.070068 -68.514156
    Oben rechts KachelX + 1 54263 KachelY 50105 2.06080731 -1.19579760 118.075561 -68.514156
    Unten links KachelX 54262 KachelY + 1 50106 2.06071144 -1.19583271 118.070068 -68.516167
    Unten rechts KachelX + 1 54263 KachelY + 1 50106 2.06080731 -1.19583271 118.075561 -68.516167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19579760--1.19583271) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19579760--1.19583271) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06071144-2.06080731) × cos(-1.19579760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366271344358698 × 6371000     		do = 223.714057635746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06071144-2.06080731) × cos(-1.19583271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366238673993972 × 6371000     		du = 223.694102976531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19579760)-sin(-1.19583271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366271344358698-0.366238673993972)×R²
    abs(2.06080731-2.06071144)×3.26703647253734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26703647253734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26703647253734e-05×40589641000000     		ar = 50039.4284085669m²