Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54262 / 21271
↖ ↑ ↗
← N 53.255355°
E118.070068°		 ← 365.40 m → N 53.255355°
E118.075561°		 →
↑
365.44 m
↓
↑
365.44 m
↓
N 53.252069°
E118.070068°		 ← 365.43 m →
133 538 m²		 N 53.252069°
E118.075561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827980041503906 y=0.324577331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827980041503906 × 216)
    floor (0.827980041503906 × 65536)
    floor (54262.5)     		tx = 54262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324577331542969 × 216)
    floor (0.324577331542969 × 65536)
    floor (21271.5)     		ty = 21271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54262 / 21271 ti = "16/54262/21271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54262/21271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54262 ÷ 216
    54262 ÷ 65536     		x = 0.827972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21271 ÷ 216
    21271 ÷ 65536     		y = 0.324569702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827972412109375 × 2 - 1) × π
    0.65594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06071144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324569702148438 × 2 - 1) × π
    0.350860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10226106986357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06071144} λ = 2.06071144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10226106986357))-π/2
    2×atan(3.01096633830409)-π/2
    2×1.25013880980654-π/2
    2.50027761961307-1.57079632675     		φ = 0.92948129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06071144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.070068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92948129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.255355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54262 KachelY 21271 2.06071144 0.92948129 118.070068 53.255355
    Oben rechts KachelX + 1 54263 KachelY 21271 2.06080731 0.92948129 118.075561 53.255355
    Unten links KachelX 54262 KachelY + 1 21272 2.06071144 0.92942393 118.070068 53.252069
    Unten rechts KachelX + 1 54263 KachelY + 1 21272 2.06080731 0.92942393 118.075561 53.252069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92948129-0.92942393) × R
    5.73600000000063e-05 × 6371000     		dl = 365.44056000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92948129-0.92942393) × R
    5.73600000000063e-05 × 6371000     		dr = 365.44056000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06071144-2.06080731) × cos(0.92948129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598249710121565 × 6371000     		do = 365.403606348289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06071144-2.06080731) × cos(0.92942393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598295672263515 × 6371000     		du = 365.431679462475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92948129)-sin(0.92942393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598249710121565-0.598295672263515)×R²
    abs(2.06080731-2.06071144)×4.59621419499623e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59621419499623e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59621419499623e-05×40589641000000     		ar = 133538.428093719m²