Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54260 / 50115
↖ ↑ ↗
← S 68.534266°
E118.059082°		 ← 223.54 m → S 68.534266°
E118.064575°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
S 68.536276°
E118.059082°		 ← 223.52 m →
49 957 m²		 S 68.536276°
E118.064575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827949523925781 y=0.764701843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827949523925781 × 216)
    floor (0.827949523925781 × 65536)
    floor (54260.5)     		tx = 54260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764701843261719 × 216)
    floor (0.764701843261719 × 65536)
    floor (50115.5)     		ty = 50115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54260 / 50115 ti = "16/54260/50115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54260/50115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54260 ÷ 216
    54260 ÷ 65536     		x = 0.82794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50115 ÷ 216
    50115 ÷ 65536     		y = 0.764694213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82794189453125 × 2 - 1) × π
    0.6558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06051969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764694213867188 × 2 - 1) × π
    -0.529388427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66312279541823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06051969} λ = 2.06051969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66312279541823))-π/2
    2×atan(0.189546141104857)-π/2
    2×0.187323864626413-π/2
    0.374647729252827-1.57079632675     		φ = -1.19614860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06051969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.059082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19614860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.534266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54260 KachelY 50115 2.06051969 -1.19614860 118.059082 -68.534266
    Oben rechts KachelX + 1 54261 KachelY 50115 2.06061557 -1.19614860 118.064575 -68.534266
    Unten links KachelX 54260 KachelY + 1 50116 2.06051969 -1.19618368 118.059082 -68.536276
    Unten rechts KachelX + 1 54261 KachelY + 1 50116 2.06061557 -1.19618368 118.064575 -68.536276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19614860--1.19618368) × R
    3.50800000001872e-05 × 6371000     		dl = 223.494680001193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19614860--1.19618368) × R
    3.50800000001872e-05 × 6371000     		dr = 223.494680001193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06051969-2.06061557) × cos(-1.19614860) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36594471346393 × 6371000     		do = 223.537869817471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06051969-2.06061557) × cos(-1.19618368) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365912066507116 × 6371000     		du = 223.517927375584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19614860)-sin(-1.19618368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36594471346393-0.365912066507116)×R²
    abs(2.06061557-2.06051969)×3.26469568137644e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.26469568137644e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.26469568137644e-05×40589641000000     		ar = 49957.2961732863m²