Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5426 / 2287
↖ ↑ ↗
← N 82.333848°
W120.388183°		 ← 162.96 m → N 82.333848°
W120.377197°		 →
↑
162.97 m
↓
↑
162.97 m
↓
N 82.332382°
W120.388183°		 ← 162.99 m →
26 560 m²		 N 82.332382°
W120.377197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165603637695312 y=0.0698089599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165603637695312 × 215)
    floor (0.165603637695312 × 32768)
    floor (5426.5)     		tx = 5426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0698089599609375 × 215)
    floor (0.0698089599609375 × 32768)
    floor (2287.5)     		ty = 2287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5426 / 2287 ti = "15/5426/2287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5426/2287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5426 ÷ 215
    5426 ÷ 32768     		x = 0.16558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2287 ÷ 215
    2287 ÷ 32768     		y = 0.069793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.6688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10117018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.069793701171875 × 2 - 1) × π
    0.86041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.70306589577573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10117018} λ = -2.10117018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70306589577573))-π/2
    2×atan(14.9254214356685)-π/2
    2×1.50389652782106-π/2
    3.00779305564211-1.57079632675     		φ = 1.43699673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10117018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.388183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43699673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.333848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5426 KachelY 2287 -2.10117018 1.43699673 -120.388183 82.333848
    Oben rechts KachelX + 1 5427 KachelY 2287 -2.10097844 1.43699673 -120.377197 82.333848
    Unten links KachelX 5426 KachelY + 1 2288 -2.10117018 1.43697115 -120.388183 82.332382
    Unten rechts KachelX + 1 5427 KachelY + 1 2288 -2.10097844 1.43697115 -120.377197 82.332382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43699673-1.43697115) × R
    2.55799999999695e-05 × 6371000     		dl = 162.970179999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43699673-1.43697115) × R
    2.55799999999695e-05 × 6371000     		dr = 162.970179999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10117018--2.10097844) × cos(1.43699673) × R
    0.000191739999999996 × 0.133400733188952 × 6371000     		do = 162.959072681687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10117018--2.10097844) × cos(1.43697115) × R
    0.000191739999999996 × 0.133426084515866 × 6371000     		du = 162.990041242551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43699673)-sin(1.43697115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133400733188952-0.133426084515866)×R²
    abs(-2.10097844--2.10117018)×2.53513269140027e-05×R²
    0.000191739999999996×2.53513269140027e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.53513269140027e-05×40589641000000     		ar = 26559.9928847172m²