Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54259 / 12717
↖ ↑ ↗
← N 80.908918°
W 30.973206°		 ← 48.26 m → N 80.908918°
W 30.970459°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
N 80.908484°
W 30.973206°		 ← 48.26 m →
2 331 m²		 N 80.908484°
W 30.970459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413967132568359 y=0.0970268249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413967132568359 × 217)
    floor (0.413967132568359 × 131072)
    floor (54259.5)     		tx = 54259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970268249511719 × 217)
    floor (0.0970268249511719 × 131072)
    floor (12717.5)     		ty = 12717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54259 / 12717 ti = "17/54259/12717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54259/12717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54259 ÷ 217
    54259 ÷ 131072     		x = 0.413963317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12717 ÷ 217
    12717 ÷ 131072     		y = 0.0970230102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413963317871094 × 2 - 1) × π
    -0.172073364257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.54058442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970230102539062 × 2 - 1) × π
    0.805953979492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.53197910103175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54058442} λ = -0.54058442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53197910103175))-π/2
    2×atan(12.5783753948852)-π/2
    2×1.4914616677642-π/2
    2.9829233355284-1.57079632675     		φ = 1.41212701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54058442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.973206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41212701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.908918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54259 KachelY 12717 -0.54058442 1.41212701 -30.973206 80.908918
    Oben rechts KachelX + 1 54260 KachelY 12717 -0.54053648 1.41212701 -30.970459 80.908918
    Unten links KachelX 54259 KachelY + 1 12718 -0.54058442 1.41211943 -30.973206 80.908484
    Unten rechts KachelX + 1 54260 KachelY + 1 12718 -0.54053648 1.41211943 -30.970459 80.908484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41212701-1.41211943) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41212701-1.41211943) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54058442--0.54053648) × cos(1.41212701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158004379182562 × 6371000     		do = 48.258604435043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54058442--0.54053648) × cos(1.41211943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158011863961181 × 6371000     		du = 48.2608904790913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41212701)-sin(1.41211943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158004379182562-0.158011863961181)×R²
    abs(-0.54053648--0.54058442)×7.48477861869934e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48477861869934e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48477861869934e-06×40589641000000     		ar = 2330.56841110719m²