Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54258 / 21278
↖ ↑ ↗
← N 53.232345°
E118.048096°		 ← 365.60 m → N 53.232345°
E118.053589°		 →
↑
365.63 m
↓
↑
365.63 m
↓
N 53.229057°
E118.048096°		 ← 365.63 m →
133 680 m²		 N 53.229057°
E118.053589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827919006347656 y=0.324684143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827919006347656 × 216)
    floor (0.827919006347656 × 65536)
    floor (54258.5)     		tx = 54258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324684143066406 × 216)
    floor (0.324684143066406 × 65536)
    floor (21278.5)     		ty = 21278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54258 / 21278 ti = "16/54258/21278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54258/21278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54258 ÷ 216
    54258 ÷ 65536     		x = 0.827911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21278 ÷ 216
    21278 ÷ 65536     		y = 0.324676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827911376953125 × 2 - 1) × π
    0.65582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06032795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324676513671875 × 2 - 1) × π
    0.35064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10158995326889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06032795} λ = 2.06032795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10158995326889))-π/2
    2×atan(3.0089463067426)-π/2
    2×1.24993800817064-π/2
    2.49987601634128-1.57079632675     		φ = 0.92907969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06032795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.048096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92907969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.232345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54258 KachelY 21278 2.06032795 0.92907969 118.048096 53.232345
    Oben rechts KachelX + 1 54259 KachelY 21278 2.06042382 0.92907969 118.053589 53.232345
    Unten links KachelX 54258 KachelY + 1 21279 2.06032795 0.92902230 118.048096 53.229057
    Unten rechts KachelX + 1 54259 KachelY + 1 21279 2.06042382 0.92902230 118.053589 53.229057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92907969-0.92902230) × R
    5.7390000000046e-05 × 6371000     		dl = 365.631690000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92907969-0.92902230) × R
    5.7390000000046e-05 × 6371000     		dr = 365.631690000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06032795-2.06042382) × cos(0.92907969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598571467857098 × 6371000     		do = 365.600132038056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06032795-2.06042382) × cos(0.92902230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598617440244718 × 6371000     		du = 365.628211410172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92907969)-sin(0.92902230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598571467857098-0.598617440244718)×R²
    abs(2.06042382-2.06032795)×4.59723876201634e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59723876201634e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59723876201634e-05×40589641000000     		ar = 133680.127532216m²