Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54258 / 12716
↖ ↑ ↗
← N 80.909352°
W 30.975952°		 ← 48.25 m → N 80.909352°
W 30.973206°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.908918°
W 30.975952°		 ← 48.25 m →
2 327 m²		 N 80.908918°
W 30.973206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413959503173828 y=0.0970191955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413959503173828 × 217)
    floor (0.413959503173828 × 131072)
    floor (54258.5)     		tx = 54258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970191955566406 × 217)
    floor (0.0970191955566406 × 131072)
    floor (12716.5)     		ty = 12716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54258 / 12716 ti = "17/54258/12716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54258/12716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54258 ÷ 217
    54258 ÷ 131072     		x = 0.413955688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12716 ÷ 217
    12716 ÷ 131072     		y = 0.097015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413955688476562 × 2 - 1) × π
    -0.172088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54063235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097015380859375 × 2 - 1) × π
    0.80596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53202703793137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54063235} λ = -0.54063235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53202703793137))-π/2
    2×atan(12.5789783776564)-π/2
    2×1.49146545479463-π/2
    2.98293090958926-1.57079632675     		φ = 1.41213458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54063235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.975952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41213458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.909352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54258 KachelY 12716 -0.54063235 1.41213458 -30.975952 80.909352
    Oben rechts KachelX + 1 54259 KachelY 12716 -0.54058442 1.41213458 -30.973206 80.909352
    Unten links KachelX 54258 KachelY + 1 12717 -0.54063235 1.41212701 -30.975952 80.908918
    Unten rechts KachelX + 1 54259 KachelY + 1 12717 -0.54058442 1.41212701 -30.973206 80.908918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41213458-1.41212701) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41213458-1.41212701) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54063235--0.54058442) × cos(1.41213458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157996904269261 × 6371000     		do = 48.2462554214068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54063235--0.54058442) × cos(1.41212701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158004379182562 × 6371000     		du = 48.2485379761064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41213458)-sin(1.41212701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157996904269261-0.158004379182562)×R²
    abs(-0.54058442--0.54063235)×7.47491330083117e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.47491330083117e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.47491330083117e-06×40589641000000     		ar = 2326.89812418095m²