Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54257 / 85871
↖ ↑ ↗
← S 48.660129°
W 30.978699°		 ← 201.74 m → S 48.660129°
W 30.975952°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 48.661943°
W 30.978699°		 ← 201.73 m →
40 692 m²		 S 48.661943°
W 30.975952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413951873779297 y=0.655147552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413951873779297 × 217)
    floor (0.413951873779297 × 131072)
    floor (54257.5)     		tx = 54257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655147552490234 × 217)
    floor (0.655147552490234 × 131072)
    floor (85871.5)     		ty = 85871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54257 / 85871 ti = "17/54257/85871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54257/85871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54257 ÷ 217
    54257 ÷ 131072     		x = 0.413948059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85871 ÷ 217
    85871 ÷ 131072     		y = 0.655143737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413948059082031 × 2 - 1) × π
    -0.172103881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54068029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655143737792969 × 2 - 1) × π
    -0.310287475585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.974796853773842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54068029} λ = -0.54068029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974796853773842))-π/2
    2×atan(0.377268986549906)-π/2
    2×0.360758433324718-π/2
    0.721516866649436-1.57079632675     		φ = -0.84927946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54068029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.978699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84927946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.660129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54257 KachelY 85871 -0.54068029 -0.84927946 -30.978699 -48.660129
    Oben rechts KachelX + 1 54258 KachelY 85871 -0.54063235 -0.84927946 -30.975952 -48.660129
    Unten links KachelX 54257 KachelY + 1 85872 -0.54068029 -0.84931112 -30.978699 -48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 54258 KachelY + 1 85872 -0.54063235 -0.84931112 -30.975952 -48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84927946--0.84931112) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84927946--0.84931112) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54068029--0.54063235) × cos(-0.84927946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660524302096939 × 6371000     		do = 201.741123755809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54068029--0.54063235) × cos(-0.84931112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 201.733863539564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84927946)-sin(-0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660524302096939-0.660500531290181)×R²
    abs(-0.54063235--0.54068029)×2.37708067586384e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37708067586384e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37708067586384e-05×40589641000000     		ar = 40691.6346538324m²