Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54257 / 50095
↖ ↑ ↗
← S 68.494026°
E118.042602°		 ← 223.94 m → S 68.494026°
E118.048096°		 →
↑
223.94 m
↓
↑
223.94 m
↓
S 68.496040°
E118.042602°		 ← 223.92 m →
50 146 m²		 S 68.496040°
E118.048096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827903747558594 y=0.764396667480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827903747558594 × 216)
    floor (0.827903747558594 × 65536)
    floor (54257.5)     		tx = 54257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764396667480469 × 216)
    floor (0.764396667480469 × 65536)
    floor (50095.5)     		ty = 50095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54257 / 50095 ti = "16/54257/50095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54257/50095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54257 ÷ 216
    54257 ÷ 65536     		x = 0.827896118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50095 ÷ 216
    50095 ÷ 65536     		y = 0.764389038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827896118164062 × 2 - 1) × π
    0.655792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06023207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764389038085938 × 2 - 1) × π
    -0.528778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66120531943343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06023207} λ = 2.06023207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66120531943343))-π/2
    2×atan(0.189909939954751)-π/2
    2×0.187675022922814-π/2
    0.375350045845627-1.57079632675     		φ = -1.19544628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06023207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.042602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19544628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.494026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54257 KachelY 50095 2.06023207 -1.19544628 118.042602 -68.494026
    Oben rechts KachelX + 1 54258 KachelY 50095 2.06032795 -1.19544628 118.048096 -68.494026
    Unten links KachelX 54257 KachelY + 1 50096 2.06023207 -1.19548143 118.042602 -68.496040
    Unten rechts KachelX + 1 54258 KachelY + 1 50096 2.06032795 -1.19548143 118.048096 -68.496040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19544628--1.19548143) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dl = 223.940649999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19544628--1.19548143) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dr = 223.940649999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06023207-2.06032795) × cos(-1.19544628) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.366598227849881 × 6371000     		do = 223.93707004733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06023207-2.06032795) × cos(-1.19548143) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.366565524789182 × 6371000     		du = 223.917093334302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19544628)-sin(-1.19548143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366598227849881-0.366565524789182)×R²
    abs(2.06032795-2.06023207)×3.27030606996348e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.27030606996348e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.27030606996348e-05×40589641000000     		ar = 50146.3762316217m²