Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54257 / 14769
↖ ↑ ↗
← N 79.973765°
W 30.978699°		 ← 53.17 m → N 79.973765°
W 30.975952°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.973286°
W 30.978699°		 ← 53.18 m →
2 829 m²		 N 79.973286°
W 30.975952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413951873779297 y=0.112682342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413951873779297 × 217)
    floor (0.413951873779297 × 131072)
    floor (54257.5)     		tx = 54257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112682342529297 × 217)
    floor (0.112682342529297 × 131072)
    floor (14769.5)     		ty = 14769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54257 / 14769 ti = "17/54257/14769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54257/14769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54257 ÷ 217
    54257 ÷ 131072     		x = 0.413948059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14769 ÷ 217
    14769 ÷ 131072     		y = 0.112678527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413948059082031 × 2 - 1) × π
    -0.172103881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54068029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112678527832031 × 2 - 1) × π
    0.774642944335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.43361258301139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54068029} λ = -0.54068029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43361258301139))-π/2
    2×atan(11.3999911947681)-π/2
    2×1.48330091875641-π/2
    2.96660183751283-1.57079632675     		φ = 1.39580551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54068029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.978699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39580551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.973765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54257 KachelY 14769 -0.54068029 1.39580551 -30.978699 79.973765
    Oben rechts KachelX + 1 54258 KachelY 14769 -0.54063235 1.39580551 -30.975952 79.973765
    Unten links KachelX 54257 KachelY + 1 14770 -0.54068029 1.39579716 -30.978699 79.973286
    Unten rechts KachelX + 1 54258 KachelY + 1 14770 -0.54063235 1.39579716 -30.975952 79.973286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39580551-1.39579716) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dl = 53.1978499992309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39580551-1.39579716) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dr = 53.1978499992309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54068029--0.54063235) × cos(1.39580551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174099094640477 × 6371000     		do = 53.1743448138629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54068029--0.54063235) × cos(1.39579716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174107317114358 × 6371000     		du = 53.1768561690325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39580551)-sin(1.39579716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174099094640477-0.174107317114358)×R²
    abs(-0.54063235--0.54068029)×8.22247388057584e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.22247388057584e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.22247388057584e-06×40589641000000     		ar = 2828.82761860478m²